関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 07:32 UTC 版)
「コンパクト化」の記事における「関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成」の解説
チコノフ空間 X {\displaystyle X} について C b ( X ) {\displaystyle C_{b}(X)} を X {\displaystyle X} 上の有界実関数全体とする。このとき自然な埋め込み i : X → ∏ f ∈ C b ( X ) I m ( f ) ¯ {\displaystyle i:X\to \prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} を i ( x ) ( f ) := f ( x ) ( x ∈ X , f ∈ C b ( X ) ) {\displaystyle i(x)(f):=f(x)(x\in X,f\in C_{b}(X))} と定義する。このとき（ X {\displaystyle X} がチコノフ空間なので） i : X → i ( X ) {\displaystyle i:X\to i(X)} は同相写像となる。さらに ∏ f ∈ C b ( X ) I m ( f ) ¯ {\displaystyle \prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} がチコノフの定理からコンパクトとなることからその閉部分集合 i ( X ) ¯ {\displaystyle {\overline {i(X)}}} はコンパクトである。 以上から i : X → i ( X ) ¯ {\displaystyle i:X\to {\overline {i(X)}}} はハウスドルフなコンパクト化になっている。 ( j , K ) {\displaystyle (j,K)} を X {\displaystyle X} のハウスドルフなコンパクト化とする。このとき j {\displaystyle j} から自然な埋め込み C b ( K ) ↪ C b ( X ) {\displaystyle C_{b}(K)\hookrightarrow C_{b}(X)} が誘導され、さらにそこから自然な射影 j ∗ : ∏ f ∈ C b ( X ) I m ( f ) ¯ → ∏ f ∈ C b ( K ) I m ( f ) ¯ {\displaystyle j^{*}:\prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}\to \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} が誘導される（ K {\displaystyle K} がコンパクトなので C b ( K ) {\displaystyle C_{b}(K)} は連続関数全体と一致する）。さらに K {\displaystyle K} から ∏ f ∈ C b ( K ) I m ( f ) ¯ {\displaystyle \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} への自然な埋め込みを e : K → ∏ f ∈ C b ( K ) I m ( f ) ¯ {\displaystyle e:K\to \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} とすると j ∗ ∘ i = e ∘ j {\displaystyle j^{*}\circ i=e\circ j} が成り立ち、写像の連続性や像の稠密性及び空間のコンパクト性やハウスドルフ性から j ∗ ( i ( X ) ¯ ) = j ∗ ( i ( X ) ) ¯ = e ( j ( X ) ) ¯ = e ( K ) ¯ = e ( K ) {\displaystyle j^{*}({\overline {i(X)}})={\overline {j^{*}(i(X))}}={\overline {e(j(X))}}={\overline {e(K)}}=e(K)} となる。 以上から e : K → e ( K ) {\displaystyle e:K\to e(K)} が同相写像であることに注意すると β j := e | K − 1 ∘ j ∗ {\displaystyle \beta j:={e|_{K}}^{-1}\circ j^{*}} が j = β j ∘ i {\displaystyle j=\beta j\circ i} を満たすことが分かる（一意性は i ( X ) {\displaystyle i(X)} が i ( X ) ¯ {\displaystyle {\overline {i(X)}}} で稠密であることから従う）。
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