函数等式
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数学、特に解析的整数論における函数等式（かんすうとうしき、functional equation）は、数論的な L-函数が持っていることを期待される特徴的性質のひとつであり、（未だ多く推測的な内容を含むけれども）「函数等式斯くあるべし」という精巧な理論が存在する。
- ^ J. T. Tate (1950), “Fourier analysis in number fields and Hecke's zeta-functions”, in J. W. S. Cassels and A. Fröhlich, Algebraic Number Theory, Academic Press, 1967, pp. 305-347, ISBN 0-12-163251-2
関数等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/10/11 14:02 UTC 版)
「デデキントゼータ関数」の記事における「関数等式」の解説
n 次代数体 K に対して、デデキントゼータ関数は次の関数等式を満たす： 。 但し、 は K の実共役体、虚共役体の個数とする。 特に、K を有理数体にすれば、よく知られたリーマンゼータ関数の関数等式 が成立する。 さらに、 に対する、代数体 K の完全ゼータ関数を とおけば、関数等式 を満たし、 に解析接続できる。従って、 は まで解析接続できる。 解析接続できない では、デデキントゼータ関数は 1 位の極で、留数は である。つまり、 である。 ただし、 は K の実共役体、虚共役体の個数、w は、K に含まれる 1 のベキ根の個数、 は、それぞれ K の類数、単数基準とする。
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関数等式
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「デデキントのイータ関数」の記事における「関数等式」の解説
イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c ≠ 0 のとき、ある1の24乗根 ϵ ( a , b , c , d ) {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)} について関数等式 η ( a τ + b c τ + d ) = ϵ ( a , b , c , d ) ( c τ + d ) 1 / 2 η ( τ ) {\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(c\tau +d)^{1/2}\eta (\tau )} が成り立つ。 ϵ ( a , b , c , d ) {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)} は ϵ ( a , b , c , d ) = exp π i ( a + d 12 c − s ( − d , c ) − 1 4 ) {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp \pi i\left({\frac {a+d}{12c}}-s(-d,c)-{\frac {1}{4}}\right)} により求められる。ここで s ( h , k ) {\displaystyle s(h,k)} はデデキント和（英語版） s ( h , k ) = ∑ r = 1 k − 1 r k ( h r k − ⌊ h r k ⌋ − 1 2 ) {\displaystyle s(h,k)=\sum _{r=1}^{k-1}{\frac {r}{k}}\left({\frac {hr}{k}}-\left\lfloor {\frac {hr}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)} をあらわす。
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