1−2 3−4 …

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1−2+3−4+…

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/11 03:24 UTC 版)

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1−2+3−4+… の部分和が発散する様子の模式図

1−2+3−4+… は、無限級数の一つで、項番号と同じ自然数が各項に現れる交項級数として以下の式で表される。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n}$

白丸をプラス、赤丸をマイナスとしたとき4つの級数の和が1になることの説明。線で結ばれた白と赤の丸が相殺しあい、緑丸1つが残っている

以下の議論は単なるヒューリスティクスであり、現代的な観点からは厳密な証明とは認められない。

S = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − … とおき、4S を計算する。

4S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…)

　 = (1−2+3−4+…)+1+(−2+3−4+5−…)+1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…)

　 = 1+(1−2−2+3)+(+3−4−4+5)+(−2+3+3−4)+(−4+5+5−6)+…

　 = 1

よって、S = 1/4 である。

なお

2S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…)

　 = 1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…)

　 = 0+(−2+3)+(+3−4)+(−4+5)+(+5−6)+…

　 = 1−1+1−1+…

S = 1/2 なので、1−1+1−1+… = 1/2 となる。

(1−1+1−1+…)² = 1−2+3−4+…, 1−1+1−1+… = 1/2 であることを利用して 1−2+3−4+… = 1/4 を証明する方法がある。

1−1+1−1+… は公式

${\displaystyle 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}}$

等比数列

収束級数	1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
発散級数	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ グランディ級数

整数列

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• 三角数
• 五角数
• 六角数
• 七角数
• 八角数
• 九角数
• 十角数
• 多角数
• 平方数
• 立方数

その他の数列

発散級数	1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 調和級数
収束級数	交項級数 幾何級数 超幾何級数 q超幾何級数 ライプニッツの公式

数列の加速法

• エイトケンのΔ2乗加速法

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