1/4_ _1/16_ _1/64_ _1/256_ _⋯

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1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/02/12 05:51 UTC 版)

a = 3/4 のときのアルキメデスの図形

数学において級数 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … は数学史上初めて無限級数の和が計算されたものの1つの例である。紀元前250年〜200年頃、アルキメデスによって、使われた。これは初項 1/4、公比 1/4 の等比数列なので、その和は以下のようになる。

${\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{3}}$

3s = 1

級数 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … は非常に単純な視覚的証明に適している。というのも正方形や三角形は、もとの図形と相似な4つの部分に分けて、各部分の面積がもとの 1/4 になるようにできるからである。

左側の図形において、大きい正方形の面積が 1 であるとすると、最も大きい黒い正方形の面積は ( 1/2)² = 1/4 である。同様に、2番目に大きい黒い正方形の面積は 1/16 であり、3番目に大きい黒い正方形の面積は 1/64 である。したがって、すべての黒い正方形を足し合わせた面積は 1/4 + 1/16 + 1/64 + … であり、これはまたグレーの正方形や白の正方形を足し合わせた面積でもある。これらの3つの領域は単位正方形を覆っているので、図から次のことがわかる。

$3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1$

3s = 1 again

${\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4^{2}}}+{\frac {3}{4^{3}}}+{\frac {3}{4^{4}}}+\cdots =1$

この曲線は放物線である。分割線AE上にある点は等間隔で配置されている。アルキメデスは三角形ABCとCDEの面積の和が、三角形ACEの面積の 1/4 であることを示した。次に彼は、それらの上に別の4つの三角形の層を作る。その層の面積の和は三角形ABCとCDEの面積の和の 1/4 である。さらにその上に8つの三角形の層を形成すると、その層の面積の和は前の層の面積の和の 1/4 である。以下同様に 1/4 ずつ縮小された層が出来る。彼は、分割線と曲線に囲まれた領域の面積が三角形ACEの面積の 4/3 であると結論づけた。

アルキメデスは、彼の著書『放物線の求積』(The Quadrature of the Parabola) の中で、この級数について言及している。彼は持久力を要する方法で、放物線の中に領域を見つけていき、三角形に関する級数を得ている。構成の各段階で直前の段階の面積の 1/4 倍の面積が加えられる。彼は全体の面積が、最初の段階の面積の 4/3 になると予想した。これを得るために、彼は放物線を一旦おいて代数的な補題を用意した。

命題23: 面積の列 A, B, C, D, … , Z が与えられていて、A が最も大きく、各々は次のものの4倍に等しいとすると、

$A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A$等比数列

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「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯」の例文・使い方・用例・文例

• 1/4覆っていること
• 1/4カットの白菜を太めの千切りにザクザク切る。
• 1/4ポンドのやわらかくなったマーガリンまたは調理油をかなり厚めに表面全体にぬってください
• 線形ユニット（1/40インチ）で、ボタンの直径を測るのに使われる
• 真珠やダイヤモンドに使われる重さの単位：50ミリグラムまたは1/4カラット
• 1/4が混血な人
• 発進から1/4マイル(400メートル)の間で車の加速度をきそうレース
• 1999年にAFMM+3財務大臣会議が開催されました。
• 公差は+5%です
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• しかしながら、前置詞+関係代名詞whichの部分が関係副詞whereとなっています。
• 関係代名詞は「接続詞+代名詞」のはたらきをしています。
• 文法屋に聞きたいんですが、「be+分詞」はV Cなどのように考えることはできないんですか？
• 作為動詞 《〔+目+補〕型に用いられる動詞で make, elect, call など》.
• 1+1＝2.
• 加号, 正符号 《 + 》.
• 5+3＝8.
• 正符号 《 + 》.
• 正符号[+].
• + signifies ‘plus'. + という記号は「プラス」を意味する.