図形の相似

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図形の相似

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/22 00:33 UTC 版)

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相似な図形を同じ色で示してある

2つの図形 F と G が相似（そうじ、英: similar）であるとは、一方を適当に点スケール変換（拡大 (enlarging) または縮小 (shrinking)）して他方と合同になる（すなわち、有限回の平行移動、回転移動、対称移動により重なる）ことである。それらの「形」が等しいことであるとも言い換えられる。

記号では、欧米では F ∼ G と表すが、日本では「∼」でなく S を横に倒したような記号「∽」で表すことが多い。「∼」「∽」のいずれもゴットフリート・ライプニッツが発明したと言われる^[1]。

F を r倍-点スケール変換して G と合同になるとき、1 : r を F と G の相似比という。相似な図形の対応する線分（辺）の長さの比は一定であり、相似比に等しい。

直線図形（多角形など）においては、相似な図形の対応する角度の大きさは等しくなる。

図形の相似の概念は図形の合同（r = 1 の場合）の拡張であるが、それらを区別するため、図形の相似の定義から図形の合同を除く流儀もある。あまり本質的ではないので、本稿では r = 1 の場合も相似の定義に含めることとする。

例

相似な図形の例

直線, 正三角形, 直角二等辺三角形, 正方形, 正多角形, 円, 放物線, 双曲線, 正多面体, 球など

これらはそれぞれ、一方を適当な率で拡大または縮小し、適当に平行移動、回転、鏡映を施すと他方に重なる。このとき双方は形が同じであるが、大きさと向き（平面上では表裏）は異なる。

相似とはいえない図形の例

直角三角形, 二等辺三角形, ひし形, 長方形, 楕円, 双曲線, 角柱, 角錐, 円柱, 円錐など

適当な条件を加えると、それぞれ相似になる。

特に三角形においては、後述するように、相似となるための必要十分条件がよく知られている。

相似比

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図は、X × Y の長方形を相似拡大して W × H の長方形になる様子を表している。その相似比は X : Y = W : H で、面積比は XY : AB = X² : A² となっている。

相似な図形の対応する線分（辺）の長さの比は一定であり、これを相似比という。特に、相似比 1:1 の図形は合同である。

ある図形をr倍して別の図形と一致したら、それらの相似比は${\displaystyle 1:r}$

シェルピンスキーのギャスケットは自己相似次元 ln 3/ln 2 = log₂ 3 (≈ 1.58) を持つ空間である。

一般の距離空間 (X, d) において狭義の相似性 (exact similitude) とは距離空間 X からそれ自身への写像であって、任意の距離を特定の同じ（f の縮小因子 (contraction factor) と呼ばれる）スカラー r -倍するものをいう。任意の2点 x, y について

${\displaystyle d(f(x),f(y))=rd(x,y)}$