エイトケンのΔ2乗加速法

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エイトケンのΔ2乗加速法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/15 02:45 UTC 版)

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エイトケンのΔ2乗加速法（エイトケンのデルタじじょうかそくほう、Aitken's Δ² process）とは、少ない計算量で数列の収束を速めるためのアルゴリズムの一つである。

概要

数列 s_n がある極限値に収束するとき、以下の定義によって新たな数列 t_n を作ると、後者の収束が極めて良くなることがある（状況によっては速くならない場合もある）。

${\displaystyle t_{n}:=s_{n}-{\frac {(s_{n+1}-s_{n})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.}$

エイトケンの2乗加速法の定義式の説明用グラフ

加速される理由

以下に見るように、エイトケンの Δ² 加速法は一種のはさみうち法である。今、s_n+1 は s_n によって決まり、数列はある極限値 α へ収束すると仮定する。

${\displaystyle s_{n+1}=g(s_{n})\longrightarrow \alpha ,\quad (n\longrightarrow +\infty ),}$

等比数列

収束級数	1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
発散級数	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ グランディ級数

整数列

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• ペラン数
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• 五角数
• 六角数
• 七角数
• 八角数
• 九角数
• 十角数
• 多角数
• 平方数
• 立方数

その他の数列

発散級数	1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 調和級数
収束級数	交項級数 幾何級数 超幾何級数 q超幾何級数 ライプニッツの公式

数列の加速法

• エイトケンのΔ2乗加速法

カテゴリ:級数・カテゴリ:数列