等比数列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/27 14:21 UTC 版)
等比数列（とうひすうれつ）または幾何数列（きかすうれつ、英: geometric progression, geometric sequence）は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比（こうひ、英: common ratio）という。
例えば初項が 4, 公比が 3 の等比数列の最初の数項を列挙すると 4, 12, 36, 108, … となる。ある数列について、隣り合う項の比（この場合、12/4, 36/12, 108/36, …）が常に等しいならその数列は等比数列である。
等比数列 {an} について、（定義より公比は 0 でないため）公比 r は任意の n 番目の項とその次の項の比 r = an+1/an から得られる（特に r = 1 の場合は公差が 0 の等差数列でもある）。等比数列の各項は初項 a と公比 r を用いて具体的に以下のように表せる。
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ という幾何級数が 2 に収束することを幾何学的に示した図。 出典
注釈
参考文献
関連項目
外部リンク
- 竹之内脩『等比数列』 - コトバンク
- 世界大百科事典『等比級数』 - コトバンク
- 『等比数列の和の公式（例題・証明・応用）』 - 高校数学の美しい物語
- Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Geometric Series". mathworld.wolfram.com (英語).
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等比数列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:15 UTC 版)
等比数列 x k = 2 k n ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)} をとると、左和と右和は、それぞれ、 ∑ k = 0 n − 1 ( 2 k n ) 2 ( 2 k + 1 n − 2 k n ) = 7 2 2 n + 2 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k+1}{n}}-2^{\frac {k}{n}})={\frac {7}{2^{\frac {2}{n}}+2^{\frac {1}{n}}+1}}} ∑ k = 1 n ( 2 k n ) 2 ( 2 k n − 2 k − 1 n ) = 7 2 − 2 n + 2 − 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{-{\frac {2}{n}}}+2^{-{\frac {1}{n}}}+1}}} となる。 等差数列か等比数列か、左和か右和かに関係なく、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } での極限ではいずれも。 ∫ 1 2 x 2 d x = 7 3 {\displaystyle \int _{1}^{2}x^{2}dx={\frac {7}{3}}}
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