等比数列の和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/11 15:08 UTC 版)
等比数列の初項から第 n 項までの和は以下の式で定義される。 ∑ k = 1 n a r k − 1 = a r 0 + a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\dotsb +ar^{n-1}} ここで ( 1 − r ) ∑ k = 1 n r k − 1 = ( 1 − r ) ( r 0 + r 1 + r 2 + r 3 + ⋯ + r n − 1 ) = ( r 0 + r 1 + r 2 + r 3 + ⋯ + r n − 1 ) − ( r 1 + r 2 + r 3 + r 4 + ⋯ + r n − 1 + r n ) = 1 − r n {\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=1}^{n}r^{k-1}&=(1-r)(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+\dotsb +r^{n-1})\\&=(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+\dotsb +r^{n-1})-(r^{1}+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\dotsb +r^{n-1}+r^{n})\\&=1-r^{n}\end{aligned}}} であるので ∑ k = 1 n a r k − 1 = a ( 1 − r n ) 1 − r = a ( r n − 1 ) r − 1 ( r ≠ 1 ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}\quad (r\neq 1).} ただし、r = 1 では ∑ k = 1 n a = n a {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a=na} である。第 m 項から第 n 項までの和は ∑ k = m n a r k − 1 = ∑ k = 1 n a r k − 1 − ∑ k = 1 m − 1 a r k − 1 = a ( r m − 1 − r n ) 1 − r = a ( r n − r m − 1 ) r − 1 ( r ≠ 1 ) . {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k-1}=\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}-\sum _{k=1}^{m-1}ar^{k-1}={\frac {a(r^{m-1}-r^{n})}{1-r}}={\frac {a(r^{n}-r^{m-1})}{r-1}}\quad (r\neq 1).}
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