数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/20 02:32 UTC 版)
白銀数の連分数展開は 1 + 2 = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\cdots }}}}}}} である。 白銀数 rs は有理数に 2の平方根を添加した代数体における代数的整数になっており、rs の共役数は r s σ = 1 − 2 = − 1 1 + 2 = − 1 r s {\displaystyle {r_{\rm {s}}}^{\sigma }=1-{\sqrt {2}}=-{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}=-{\frac {1}{r_{\rm {s}}}}} によって与えられる。任意の自然数 n について、 ( r s ) n + ( r s σ ) n {\displaystyle (r_{\rm {s}})^{n}+({r_{\rm {s}}}^{\sigma })^{n}} は有理整数になるが、 r s σ {\displaystyle {r_{s}}^{\sigma }} の絶対値が 1/2 より小さいため、この有理整数は ( r s ) n {\displaystyle (r_{s})^{n}} に最も近い自然数を与えている。n → ∞ のとき ( r s σ ) n {\displaystyle ({r_{\rm {s}}}^{\sigma })^{n}} は 0 に収束するから、 R ∪ { ∞ } ∖ Z {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}\setminus \mathbb {Z} } における ( r s ) n {\displaystyle (r_{\rm {s}})^{n}} は無限遠点を唯一の集積点として持ち、特に ( r s ) n {\displaystyle (r_{\rm {s}})^{n}} の小数部分は均等に分布していないことが分かる。 一辺の長さが1の正八角形の対角線のうち、2番目に長い対角線の長さである。 三角関数で表すと、 r s = cot 22.5 ∘ = 1 tan 22.5 ∘ {\displaystyle r_{s}=\cot 22.5^{\circ }={\frac {1}{\tan 22.5^{\circ }}}} 等の表記ができる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/05 14:13 UTC 版)
5/8 は 5÷8 に等しい。 5/8 は、素因数に2が含まれているN進法では、有限小数になる。5/8 = 0.101(2) = 0.1212…(3) = 0.343(6) = 0.5555…(9) = 0.625(10) = 0.76(12) = 0.A(16) = 0.B49(18) = 0.CA(20) になる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/27 08:56 UTC 版)
「コープランド–エルデシュ定数」の記事における「数学的性質」の解説
1946年に、コープランドとエルデシュは、この数が十進正規数であることを示した。これより、無理数であること、すなわち循環しない小数であることも分かる。ハーディとライトの『数論入門』には、コープランド-エルデシュ定数が無理数であることの直接の証明として、算術級数定理を用いたものと、ベルトランの仮説を用いたものが紹介されている。以下、定数が有理数と仮定し、循環節の長さを s として矛盾を導く。 算術級数定理より、初項 1 で公差 10s+1 の算術級数を考えると、0 がs桁以上連続する素数は無数に存在する。これは明らかに仮定に反する。 ベルトランの仮説より、5 × 10n−1 と 10n の間に素数が存在するから、任意の自然数 n に対してn桁の素数が存在する。s > 1の場合 、十分大きな m > 1 に対してms桁の素数が定数の循環部分に現れるはずであるが、仮定よりその素数はs桁毎の繰り返しとなる。そのような数は合成数であるから矛盾である。s=1の場合も、素数であり合成数である数の存在が示される。 また、以下の式で表すことができる。ここに p(n) は n 番目の素数、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } は床関数を表す。 ∑ n = 1 ∞ p ( n ) 10 − ( n + ∑ k = 1 n ⌊ log 10 p ( k ) ⌋ ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p(n)10^{-\left(n+\sum \limits _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p(k)}\rfloor \right)}.} 連分数展開は、[0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]（オンライン整数列大辞典の数列 A30168）である。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/08 08:42 UTC 版)
「チャンパーノウン定数」の記事における「数学的性質」の解説
この定数 C10 は単純な形で定められるにも関わらず無理数であり、超越数でもある。C10 は ∑ n = 1 ∞ ∑ k = 10 n − 1 10 n − 1 k 10 − n ( k − ( 10 n − 1 − 1 ) ) 10 ∑ k = 0 n − 1 k 9 × 10 k − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}k10^{-n\left(k-\left(10^{n-1}-1\right)\right)}}{10^{\sum _{k=0}^{n-1}k9\times 10^{k-1}}}}} [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, K, …] （オンライン整数列大辞典の数列 A030167） 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987 C10 − [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15] ≈ −9 ×10−190 C10 − [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, K] ≈ 3 ×10−356 となり、K を含めることによって近似精度が 166桁分向上することになる。 1111111111/9000000000 = 0.123456790111… や 10/81 =0.12345679… はチャンパーノウン定数に比較的近い（下線部は循環節）。実際 10/81 は主近似分数の一つ [0; 8, 9, 1] である。 1933年、チャンパーノウンはこの数が十進正規数であることを示した。他の基数に関して正規か否かは分かっていない。 0.4938271564044485256606… は、一見すると何の変哲もない無理数のようだが、これは実際のところチャンパーノウン定数を4倍して得られる数である。このように、規則性がある数に乗法や累乗などの演算をほどこすとその規則性が消えて（見えなくなって）しまう。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/12 21:55 UTC 版)
5296は合成数であり、約数は 1, 2, 4, 8, 16, 331, 662, 1324, 2648, 5296 である。約数の和は10292。 約数の和が5296になる数は1個ある。(4627) 約数の和1個で表せる764番目の数である。1つ前は5288、次は5298。 各位の和が22になる194番目の数である。1つ前は5287、次は5359。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:28 UTC 版)
ディリクレのイータ関数（英語版）は η ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s {\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}} と定義されるので、上記のテイラー展開から、 η(1) = log 2 である。また、log 2 は以下のような級数でも求められる。 log 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n ⋅ 2 n {\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot 2^{n}}}} log 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 1 3 n + 1 − 1 3 n + 2 + 1 3 n + 3 ) {\displaystyle \log 2=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{3n+1}}-{\frac {1}{3n+2}}+{\frac {1}{3n+3}}\right)} log 2 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 ( − 4 ) n ( 2 4 n + 1 − 1 4 n + 3 − 1 4 n + 4 ) {\displaystyle \log 2={\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(-4)^{n}}}\left({\frac {2}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)} log 2 = 1 3 ∑ n = 0 ∞ 1 ( − 27 ) n ( 3 6 n + 1 − 2 6 n + 3 − 1 6 n + 4 ) {\displaystyle \log 2={\frac {1}{3}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(-27)^{n}}}\left({\frac {3}{6n+1}}-{\frac {2}{6n+3}}-{\frac {1}{6n+4}}\right)} さらに、 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}} の第 N 項までの部分和と log 2 との差は ∑ n = 1 N ( − 1 ) n + 1 n − log 2 = ( − 1 ) N ( 1 2 N + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n T n 4 N N 2 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}-\log 2=(-1)^{N}\left({\frac {1}{2N}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}T_{n}}{4^{N}N^{2n}}}\right)} と表される。ここで、Tn は n 番目のタンジェント数である。 積分では ∫ 1 2 d x x = log 2 {\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\log 2} であるから、双曲線 y = 1/x と直線 x = 1, x = 2 および y = 0 （x 軸）とに囲まれた図形の面積は log 2 である。 リンデマンの定理より log 2 は超越数であり、したがって無理数である。 log 2 が正規数かどうかは分かっていない。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/04 15:37 UTC 版)
ii の取る値はどれも正の実数であるが、e−(π/2 + 2nπ) の整数 n を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に n を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって ii には最大値も最小値も存在しない。 ii の主値 e−π/2 は e − π / 2 = e ( i / 2 ) Log ( − 1 ) = ( − 1 ) i / 2 {\displaystyle e^{-\pi /2}=e^{(i/2)\operatorname {Log} (-1)}=(-1)^{i/2}} であるから、ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、超越数であるため、無理数である。同様に他の ii の値も超越数である。 なお (−i)−i も ( − i ) − i = e − i log ( − i ) = e − ( π / 2 − 2 n π ) {\displaystyle (-i)^{-i}=e^{-i\log(-i)}=e^{-(\pi /2-2n\pi )}} なので、(−i)−i = ii である。 テトレーション i i . . i {\displaystyle i^{i^{.^{.^{i}}}}} の極限は実数ではない複素数に収束する (Macintyre 1966)。 i i i . . . = lim n → ∞ i → n → 2 = lim n → ∞ i ↑↑ n = lim n → ∞ ( i ↑ ) n i ↑ i = − W ( − log i ) log i = 2 i π W ( − π 2 i ) ≈ 0.438283 + 0.3605924 ⋅ i . {\displaystyle {\begin{aligned}i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}}&=\lim _{n\to \infty }{i\rightarrow n\rightarrow 2}\\&=\lim _{n\to \infty }{i\uparrow \uparrow n}=\lim _{n\to \infty }{(i\uparrow )^{n}i\uparrow i}\\&=-{\frac {W(-\log i)}{\log i}}={\frac {2i}{\pi }}\,W{\Bigl (}{-{\frac {\pi }{2}}i}{\Bigr )}\\&\approx 0.438283+0.3605924\cdot i.\end{aligned}}} ただし、W はランベルトのW関数である。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/11 09:39 UTC 版)
5# 以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1,3,7,9 のいずれかに限られる。 素数が無数に存在することの証明に用いられることがある。 証明：最大の素数の存在を仮定し、それを pmax とおくと、pmax# + 1 は pmax 以下の素数で割り切れない。仮定より pmax# + 1 未満の素数は以上で全てなので pmax# + 1 は 1 と自分自身以外の因数を持たないことが言える。したがって pmax# + 1 は素数でなければならないことになるが、これは pmax を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。（証明終） 実際には、素数 p に対する p# + 1 は素数であることもあれば、合成数であることもある。素数である例としては 11# + 1 = 2311 などが、合成数である例としては 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 などがある。いずれにせよ、p# + 1 の素因子は全て p よりも大きい。 全ての高度合成数は素数階乗数の累乗数の積で表される。 720 = 22 × 61 × 301
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/29 04:41 UTC 版)
以下、n は正の整数（自然数）であるとする。 偶数と奇数の和、差はともに奇数である。奇数と奇数の積も、また奇数である。 奇数と奇数の和、奇数と偶数の積はともに偶数である。 負の実数の奇数乗は、負の実数になる。 五進法など「奇数進法」では、1÷2 のみならず 1÷偶数 が割り切れない。即ち、「半分」を有限小数として表現できない。 同じく、十六進法など「二の累乗数進法」では、1÷奇数（1と-1を除く） が割り切れない。即ち、「1/3」や「1/5」などを有限小数として表現できない。 2 以外の全ての素数は奇数である。つまり 3 以上の素数は全て奇数であり、それらを奇素数という。 フィボナッチ数のうち奇数であるのは、3n − 2 番目と 3n − 1 番目のフィボナッチ数である。 三角数のうち奇数であるのは、4n − 3 番目と 4n − 2 番目の三角数のみである。 平方数（四角数）のうち奇数であるのは、2n − 1番目の平方数のみである。 最小の正の奇数である 1 から n 番目の正の奇数（2n − 1）までの全ての奇数を足し合わせると、n 番目の平方数に等しくなる。 数論的関数を用いて、以下が知られている。 σ 1 ( N ) / N = n / d {\displaystyle \sigma _{1}(N)/N=n/d} (n, d ∈ N*) かつ ω(N) = k が成り立つような正の奇数 N は、 ( d + 1 ) 4 k {\displaystyle (d+1)^{4^{k}}} より小さい。（ペース・ニールセン） 6 以外の完全数は奇数の立方和で表せる。 約数の和は平方数と平方数の2倍の数の場合のみ奇数である。これは平方数の約数の個数が奇数になることと、偶数の素数が2しかないためである。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 17:43 UTC 版)
eπ はオイラーの公式 e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} から以下のように変形できる。ここで i は虚数単位である。 e π = ( e i π ) − i = ( cos π + i sin π ) − i = ( − 1 ) − i {\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(\cos \pi +i\sin \pi )^{-i}=(-1)^{-i}} ゲルフォント＝シュナイダーの定理は 「a を 0, 1 でない代数的数、b を有理数でない代数的数とすると、ab は超越数である」という内容である。a = −1, b = −i はこの条件を満たすので、(−1)−i は超越数である。すなわち eπ は超越数である。 ちなみに、ee, ππ, πe などは有理数であるのか無理数であるのか超越数であるのか否かは証明されていない。 k 0 = 1 2 {\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}} として k n = 1 − 1 − k n − 1 2 1 + 1 − k n − 1 2 {\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-{k_{n-1}}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-{k_{n-1}}^{2}}}}}} と定義されるとき、 数列 ( 4 k n + 1 ) 2 − n {\displaystyle \left({\frac {4}{k_{n+1}}}\right)^{2^{-n}}} は eπ に収束する。 eπ − π はほとんど整数である。 eπ − π = 19.99909997918947…
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 06:24 UTC 版)
半整数を 2 倍すると奇数になり、4 倍すると単偶数になる。 整数は加法、減法、乗法について閉じているのに対し、半整数は四則演算のいずれについても閉じていないばかりか、半整数同士の和、差、積、商はいずれも半整数となることはない。 z が半整数のとき、ガンマ関数 Γ(z) の値は √π の有理数倍になる。以下に例を示す。 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π Γ ( 1 2 ) = π Γ ( 3 2 ) = π 2 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)&=-2{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)&={\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\\\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\end{aligned}}}
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/18 06:56 UTC 版)
x軸とx'軸との間の角度 α {\displaystyle \alpha } について以下のように定義する。 t a n α = v c = β {\displaystyle tan\alpha ={\frac {v}{c}}=\beta } また、xとtからx’とt’へ変換するローレンツ変換の数学的な記述は以下の通りである。 x ′ = x − v t 1 − ( v c ) 2 {\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}} t ′ = t − ( v x c 2 ) 1 − ( v c ) 2 {\displaystyle t'={\frac {t-({\tfrac {vx}{c^{2}}})}{\sqrt {1-({\tfrac {v}{c}})^{2}}}}} この変換から得られる時空間軸は、必ず双曲線の共役直径（英語版）に対応する[要出典]。 Fig.2-3に示されているように、一般的には変換前と返還後の軸のスケールが異なる。ct軸とx軸の単位長さをUとすると、ct’軸とx’軸の単位長さU'は次のようになる。 U ′ = U 1 + β 2 1 − β 2 {\displaystyle U'=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}}
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/29 01:53 UTC 版)
「エルデシュ・ボーウェイン定数」の記事における「数学的性質」の解説
1948年にエルデシュが、この定数は無理数であることを示した。 後に、ボーウェインも別の証明を示している。 エルデシュ・ボーウェイン定数の二進法表記の仕方は効率的に計算される可能性がある。 この定数は、ヒープソートアルゴリズムの平均ケース分析に用いられる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/09 03:45 UTC 版)
1 ÷ 2 に等しい。 0 と 1 の相加平均に等しい。 偶数に 1/2 を乗じた値は整数であり、奇数に 1/2 を乗じた値は半整数である。また、単偶数に 1/2 を乗じた値は奇数である。 四則演算において、÷ 2 は × 1/2 と同じ意味である。 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} は x 1 2 {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} に等しい。 三角関数では、角が 0 以上 2π 未満の範囲では sin π/6 = sin 5/6π = 1/2, cos π/3 = cos 5/3π = 1/2 である。したがってsin−1 1/2 = π/6, cos−1 1/2 = π/3 である。なおtan−1 1/2 = 0.46364760900080611621… である。 1 から n までの自然数の和は 1/2n(n + 1) に等しい（→三角数）。 三角形の面積は（底辺）×（高さ）× 1/2 で求められる。あるいは、三角形の2辺の長さを a, b、それらがなす角を θ とすると、面積 S は S = 1/2ab sin θ と表せる。 Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} （Γ はガンマ関数） その他台形の面積、不定積分 ∫ x d x {\displaystyle \int x\,dx} 、ある 2 点の中点の座標を求める場合など、様々な公式中に 1/2 は登場する。 リーマン予想では、「ゼータ関数 ζ(s) の自明でない零点 s は、全て実部が 1/2 の直線上に存在する」と考えられている。 1 2 = 1 6 1 − 2 3 = ∑ n = 1 ∞ 1 6 ( 2 3 ) n . {\displaystyle {\dfrac {1}{2}}={\dfrac {\dfrac {1}{6}}{1-{\dfrac {2}{3}}}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{6}}\left({\dfrac {2}{3}}\right)^{n}.}
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/22 23:10 UTC 版)
3/10 は 3 ÷ 10 である。 3/A（十進法3/10）が有限小数になるN進法は、素因数が2と5のN進法に限られる。3/10 = 0.010011…(2) = 0.0220…(3) = 0.12222…(5) = 0.14444…(6) = 0.2626…(9) = 0.3(10) = 0.37249…(12) = 0.4CCCC…(16) = 0.573AE…(18) = 0.6(20) になる。(下線部は循環節) 3/10 は 23/33 に近い。23/33 = (8/27)10 = 0.144(6) = 0.26(9) = 0.296…(10) = 0.368(12) = 0.56(18) √0.1 ≈ 0.316228 は 3/10 に近い。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/06 07:01 UTC 版)
「Curve25519」の記事における「数学的性質」の解説
この曲線は素数 2255 − 19におけるモンゴメリ型楕円曲線（英語版） y2 = x3 + 486662x2 + xを使用している。また、基点 x = 9も使用している。この基点は位数 ( 2 252 + 27742317777372353535851937790883648493 ) {\displaystyle (2^{252}+27742317777372353535851937790883648493)} を持つ。 このプロトコルは圧縮された楕円上の点 (X座標のみ) を使用しているので、XZ座標のみを使用して、ECDH用のモンゴメリラダー（英語版）を効率的に使用することができる。 Curve25519は実装時における潜在的な欠陥の可能性を回避するように構築されている。設計上、タイミング攻撃の影響を受けず、有効な公開鍵として32バイトの文字列を受け入れる。検証は不要である。 この曲線は、Ed25519で使用されているツイストエドワーズ曲線（英語版）と双有理同値である。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/06 15:26 UTC 版)
相空間上の二階微分可能な任意の実数値関数 f, g, h に対し、ポアソン括弧は以下の性質を満たす： { ⋅ , ⋅ } {\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}} は第一成分、第二成分の双方に対して線形である。（双線形性） { f , g } = − { g , f } {\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}} （歪対称性） { { f , g } , h } + { { h , f } , g } + { { g , h } , f } = 0 {\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{h,f\},g\}+\{\{g,h\},f\}=0} （ヤコビの恒等式） { f g , h } = { f , h } g + f { g , h } {\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}} 、 { f , g h } = { f , g } h + g { f , h } {\displaystyle \{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}} （ライプニッツ・ルール） また、正準変数 q, p に対して以下が成り立つ。ここで δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} はクロネッカーのデルタ: δ i j := { 1 , i = j , 0 , i ≠ j . {\displaystyle \delta _{ij}:={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}}} { p i , p j } = { q i , q j } = 0 {\displaystyle \{p_{i},p_{j}\}=\{q_{i},q_{j}\}=0} 、 { q i , p j } = δ i j {\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}} 、 { f , p i } = ∂ f ∂ q i {\displaystyle \{f,p_{i}\}={\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}}
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/11 15:08 UTC 版)
等比数列を漸化式で表すと、 a 1 = a , a n + 1 = r a n ( n ≥ 1 ) {\displaystyle a_{1}=a,\quad a_{n+1}=ra_{n}\quad (n\geq 1)} となる。公比が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる数列となる。例えば 3, −6, 12, −24, … という数列は公比 −2 の等比数列であり、一般項は a n = 3 ⋅ ( − 2 ) n − 1 = ( − 1 ) n − 1 3 ⋅ 2 n − 1 {\displaystyle a_{n}=3\cdot (-2)^{n-1}=(-1)^{n-1}\,3\cdot 2^{n-1}} となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。 公比 r について、 r > 1 ならば等比数列は初項の符号によって正もしくは負の無限大に発散する。 −1< r < 1 の場合は 0 に収束する。 r = −1 では a と −a の値のみを交互にとる（振動）。 r < −1 では振動する（発散する。正もしくは負の無限大に発散するということではない）。 形式的に等比数列の一般項の対数をとると log a n = log a + ( n − 1 ) log r {\displaystyle \log a_{n}=\log a+(n-1)\log r} となり、数列 log an は初項 log a 、公差 log r の等差数列になる。 等比数列の連続する3項を小さい順から a, b, c とすると、常に b2 = ac が成り立つ。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/06 14:37 UTC 版)
3 ÷ 4 に等しい。 3/4は、素因数に2が含まれているN進法であれば有限小数になる。3/4 = 0.11(2) = 0.2020…(3) = 0.3333…(5) = 0.43(6) = 0.6(8) = 0.6666…(9) = 0.75(10) = 0.9(12) = 0.B3B3…(15) = 0.C(16) = 0.D9(18) = 0.F(20) になる。(下線部は循環節)
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/15 08:21 UTC 版)
2桁以上のぞろ目の自然数は累乗数ではない。また、三角数であるものは 55、66、666 のみである。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/08 16:04 UTC 版)
1/2の次の単位分数であり、二番目に小さい単位分数である。次の単位分数は1/4だが、「素数の単位分数」だと次は1/5になる。 1 ÷ 3 に等しい。 x 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}} は x 1 3 {\displaystyle x^{\frac {1}{3}}} のことである。 底面積 S、高さ h の角錐や円錐の体積 V は、V = 1/3Sh で求められる。 級数 1 − 2 + 4 − 8 + …, 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ はそれぞれ、1/3 に収束するとも考えられている。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 03:04 UTC 版)
4以上の全ての偶数は合成数である。6以上の全ての偶数は最低4個の約数を持つ。 10以上の数では一の位が 0, 2, 4, 5, 6, 8 であれば全て合成数である。 10以上の数で数字和が3の倍数となる数（21、27、33、39、51、57、63、69、81、87、93、99等）は全て合成数である。 ( n − 1 ) ! ≡ 0 ( mod n ) {\displaystyle (n-1)!\,\,\,\equiv \,\,0{\pmod {n}}} 6 ≦ n である合成数 n はこの式を満たす。詳細は「ウィルソンの定理」を参照 合成数は少なくとも3個の約数を持つ。また素数の2乗以外の合成数は最低4個の約数を持つ。最少個の約数を持つ合成数は素数 p を2乗した p2 で、1, p, p2 の3つがその約数である。 3番目以降の多角数は合成数である。また、完全数や過剰数も全て合成数である。 任意の自然数 n に対して、連続する n 個の合成数を自然数列から取り出すことができる。(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, …, (n + 1)! + (n + 1) は連続する n 個の合成数である。 10進数では、8以上のハーシャッド数は全て合成数である。また、8以上でレピュニットでないズッカーマン数も全て合成数である。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/24 14:19 UTC 版)
以下、m は整数、n は正の整数（自然数）であるとする。 素数のうち偶数であるのは 2 のみである。 偶数同士または奇数同士の和は偶数である。 偶数同士または奇数同士の差は偶数である。 偶数と整数の積は偶数である。 実数の偶数乗は正の実数である。 1 の 2n 乗根には、必ず 1 と −1 が含まれる。 フィボナッチ数のうち偶数であるのは、3m 番目のフィボナッチ数のみである。フィボナッチ数とは漸化式 Fm+2 = Fm+1 + Fm, F0 = 0, F1 = 1 を満たす数 Fm のことである。 三角数のうち偶数であるのは、4n − 1 番目と 4n 番目の三角数のみである。三角数とは m(m + 1)/2 と表すことのできる数である。 平方数（四角数）のうち偶数であるのは 2n 番目の平方数 (2n)2 = 4n2 のみである。 1組のピタゴラス数の3つの数のうち、少なくとも1つは偶数である。ピタゴラス数とは a2 + b2 = c2 を満たす整数の組 (a, b, c) のことである。 一般に、ある整数を 2n 進法で表した場合、その数が偶数であることを判別するには、一の位の数が偶数かどうかを調べるだけで充分である。例えば、二進法では 0、六進法では 0, 2, 4、八進法では0, 2, 4, 6、十進法では 0, 2, 4, 6, 8 が一の位に来ている場合に偶数となる。 nが六以上の偶数進法では、12の2乗は144になる。例えば、六進法の122 = 144 は 十進法に換算して 82 = 64であり、その他も十進法に換算して十二進法では142 = 196、十六進法では182 = 324、十八進法では202 = 400、二十進法では222 = 484、三十進法では322 = 1024となる。 約数の和は平方数と平方数の2倍の数を除いて偶数である。また、ほとんどの数の約数の和は約数を多く持つ数である。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:22 UTC 版)
1 ÷ 6 に等しい。6 の逆数である。 1/2×3 = 1/6 になるので、素因数が複数となる単位分数では最小である。次に素因数が複数になる単位分数は、1/2×5 で 1/10 (1/A) になる。 1/6 が有限小数になるN進法は、2と3が素因数に含まれるN進法に限られる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:30 UTC 版)
1/2×5 になるので、素因数が複数となる単位分数では二番目に小さい。最小は 1/2×3 の 1/6である。 十進法は 1/10となる分数であり、1 ÷ 10 に等しい。 1/A（十進数1/10）が有限小数になるN進法は、2と5が素因数に含まれるN進法に限られる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:25 UTC 版)
3 ÷ 5 に等しい。 3/5 は、素因数に5が含まれているN進法では、有限小数になる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:35 UTC 版)
1 ÷ 4 に等しい。 1/2 の自乗に等しい。1/4 = (1/2)2 単偶数の 1/4 は半整数である。 x {\displaystyle {\sqrt {\sqrt {x}}}} は x 1 4 {\displaystyle x^{\frac {1}{4}}} に等しい。 級数 1 − 2 + 3 − 4 + … は 1/4 に収束すると考えることもできる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:39 UTC 版)
1 ÷ 12 に等しい。 素因数が複数になる単位分数では3番目である。一つ前は1/10。 複数の素因数を持ち、かつ片方の冪指数が2以上になる単位分数では最小である。次は1/18。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:36 UTC 版)
3/8 は 3÷8 に等しい。 3/8 は、素因数に2が含まれているN進法では有限小数になる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:28 UTC 版)
5/6 は 5÷6 に等しい。 5/6 が有限小数になるN進法は、素因数に2と3が含まれるN進法に限られる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:26 UTC 版)
4 ÷ 5 に等しい。 4/5 は、素因数に 5 が含まれているN進法では有限小数になる。 度数法での 4/5 周は288度である。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:23 UTC 版)
2 ÷ 5 に等しい。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:37 UTC 版)
7/8 は 7÷8 に等しい。 7/8 は、素因数に2が含まれているN進法では有限小数になる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/24 16:11 UTC 版)
n 番目の矩形数は n(n + 1) と表され、これは n 番目の三角数の2倍に等しい。 矩形数を小さい順に列記すると (0), 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, …（オンライン整数列大辞典の数列 A2378） 矩形数の1の位は0,2,6のいずれかに限られる。 というよりも2,6,2,0,0を無限に繰り返す。 2 から n 番目の偶数までの総和は、n 番目の矩形数に等しい。 例：2 = 1 × 2, 2 + 4 = 2 × 3, 2 + 4 + 6 = 3 × 4 261220 素数である矩形数は 2 のみである。2 は矩形数のうち唯一のフィボナッチ数であることが知られている。 n(n + 1) = n2 + n であり、39番目までの矩形数に41を加えた数は、オイラー素数である。 n(n + 1) = (n + 1)2 − (n + 1) 素数番目の矩形数は、素数にその素数の正の約数の総和を乗じたものである：p(p + 1) = pσ(p)（σ は約数関数）（オンライン整数列大辞典の数列 A036690） 偶数の完全数の正の約数の総和は矩形数である。（オンライン整数列大辞典の数列 A139256） n 次正方行列の成分のうち対角成分でないものの個数は n − 1 番目の矩形数になる。 矩形数の逆数和は 1 に収束する。 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = lim n → ∞ ( 1 − 1 n + 1 ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=1\end{aligned}}} この部分分数分解から、矩形数の逆数は自然数の逆数の階差数列を作ることが分かる（正負の符号は異なる）。また、矩形数の逆数を 1 個、 2 個、 4 個、 ・・2 の n（≥ 0) 乗個、・・ずつ順に加えてゆくと初項、公比とも 1/2 の無限等比数列になることも導かれる。 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 6 + 1 12 = 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{4}}} 1 20 + 1 30 + 1 42 + 1 56 = 1 8 {\displaystyle {\frac {1}{20}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{56}}={\frac {1}{8}}} …
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:34 UTC 版)
1 ÷ 8 列びに 2-3 に等しい。 1/8は、素因数に2が含まれているN進法では有限小数になる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:40 UTC 版)
1/20 は 1 ÷ 20 に等しい。 1/20(10) は、素因数に2と5が含まれるN進法では有限小数になる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:41 UTC 版)
1 ÷ 7 に等しい。7 の逆数である。 1/7 = 0.142857142857… (下線部は循環節で長さは6)1/n の形で巡回数を作る最小の数である。次は1/17。(オンライン整数列大辞典の数列 A001913) 円周率 π の小数部分 0.14159265… に近い。つまり、31/7 = 22/7 は π に近く、これは古代から知られる π の近似値である。(オンライン整数列大辞典の数列 A068028) 「円周率の歴史」および「円周率が22/7より小さいことの証明」を参照 十進数の場合、自然数がハッピー数である確率は 1/7 である。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:33 UTC 版)
1/9 は 1÷9 列びに 3-2に等しい。 1/9 は、素因数に3が含まれているN進法では有限小数になる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 14:27 UTC 版)
7 ÷ 10 に等しい。 7/10（7/A）は、素因数に2と5が含まれているN進法では有限小数になる。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/21 09:04 UTC 版)
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/29 07:26 UTC 版)
三辺が 1 , ϕ , ϕ {\displaystyle 1,{\sqrt {\phi }},\phi } であるケプラー三角形において次の円と正方形を考える： ケプラー三角形に外接する円 一辺が ϕ {\displaystyle {\sqrt {\phi }}} の正方形 このとき、円周（ π ϕ {\displaystyle \pi \phi } ）と正方形の周長（ 4 ϕ {\displaystyle 4{\sqrt {\phi }}} ）は0.1％以下の誤差の範囲で一致する。 つまり π ≈ 4 / ϕ {\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\phi }}} は数学的一致であるが、正方形と円の周囲長を完全に一致させることは不可能である（仮に一致できた場合、円積問題における古典的な（不可能な）問題を解決できてしまうため）。言い換えると、円周率 π {\displaystyle \pi } が超越数であるため π ≠ 4 / ϕ {\displaystyle \pi \neq 4/{\sqrt {\phi }}} である。 ケプラー三角形はエジプトのピラミッドのデザインに現れている。ギザの大ピラミッドにある部屋の床面の対角線に部屋の幅を加えたものを部屋の奥行で割ると、黄金比に非常に近くなる。ただし、この関係を調査したさまざまな学者によると、古代エジプト人はおそらく円周率 π {\displaystyle \pi } と黄金比 ϕ {\displaystyle \phi } の間の数学的一致を知らなかったと考えられている。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/16 05:13 UTC 版)
9 ÷ 10 = 9/10 = 0.9。 六進法では 0.5222…、十二進法では 0.A9724…、十六進法では 0.E666…、二十進法では 0.I と表示される。（下線部は循環節） 十進法では8/9が 0.8888…、11/12が 0.91666…となり割り切れないが、これらは 9/10に近い。従って、十進法では8/9や11/12の近似値として0.9を掛ける場合がある。 逆に、六進法と十二進法では、9/A が割り切れない一方、8/9や(11/12)10が割り切れる小数になる。8/9は、六進法では 12/13 = 0.52、十二進法では 0.A8 となる。(11/12)10は、六進法では 15/20 = 0.53、十二進法では 0.B となる。従って、十二進法では、9/Aの近似値として0.Bを掛ける場合がある。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/08 07:32 UTC 版)
22 ÷ 7 に等しく、小数表記では 3.142857142857… となる。142857 も参照。 7 の逆数の22倍である。 円周率 π = 3.14159265… に近い。これは、古代から知られる π の近似値である。 「円周率の歴史」を参照
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/02 11:03 UTC 版)
1 ÷ 5 に等しい。 iのi乗の主値は i i = e − π 2 = 0.2078 ⋯ {\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0.2078\cdots } であり、1/5 に近い値である。
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数学的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/05 14:19 UTC 版)
2/3 は 2÷3 に等しい。 2/3 は、素因数に3が含まれているN進法であれば有限小数になる。2/3 = 0.1010…(2) = 0.2(3) = 0.4(6) = 0.5252…(8) = 0.6(9) = 0.6666…(10) = 0.8(12) = 0.A(15) = 0.AAAA…(16) = 0.C(18) = 0.D6D6…(20) になる。(下線部は循環節) ∫ x d x = 2 3 x 3 2 + C {\displaystyle \int {\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}}\,x^{\frac {3}{2}}+C} （C は積分定数）
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