一般項とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 同じ種類の言葉 > 社会 > 社会一般 > 一般 > 一般項の意味・解説 

いっぱん‐こう〔‐カウ〕【一般項】

読み方:いっぱんこう

数列の第n項をnの式として表したもの。例えば、数列3,5,7,9,…の一般項は2n+1となる。


一般項

数列において、第 n 項 an は n を決めれば定まるので、自然数 n の関数である。この an数列の一般項という。


一般項

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/01/01 00:30 UTC 版)

五角数」の記事における「一般項」の解説

151222 n 番目の五角数Pn とすると、図より P1 = 1 , Pn+1 = Pn + 3n + 1成り立つ。よって五角数P n = P 1 + ∑ k = 1 n − 1 ( 3 k + 1 ) = n ( 3 n − 1 ) 2 = n 2 + T n − 1 {\displaystyle P_{n}=P_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(3k+1)={\frac {n(3n-1)}{2}}=n^{2}+T_{n-1}} で与えられる。(ただし Tn は n 番目の三角数) 五角数小さいものから順に列記すると 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, … (オンライン整数列大辞典数列 A326) となる。

※この「一般項」の解説は、「五角数」の解説の一部です。
「一般項」を含む「五角数」の記事については、「五角数」の概要を参照ください。


一般項

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 22:38 UTC 版)

フィボナッチ数」の記事における「一般項」の解説

フィボナッチ数列の一般項は次の式で表されるF n = 1 5 { ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n } = ϕ n − ( 1 − ϕ ) n 5 = ϕ n − ( − ϕ ) − n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={\frac {\phi ^{n}-(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\phi ^{n}-(-\phi )^{-n}}{\sqrt {5}}}} この式は1843年ビネ (Jacques Philippe Marie Binet) が発表したことからビネの公式と呼ばれるが、それ以前1730年ド・モアブル)・1765年オイラー)にも発表されており、ビネ最初の発見者ではない。 なお、この式に現れる ϕ = 1 + 5 2 = 1.618033988749894 ⋯ {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749894\cdots } は黄金数で、いくつかの数学的特徴がある。黄金数作る二次方程式 x2 − x − 1 = 0 の解を α, β (α > β) とすると、上記の一般項は F n = α n − β n α − β {\displaystyle F_{n}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}} と表せる。 また、一般項の第2項1 5 ( 1 − 5 2 ) n {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}} の絶対値減少列で、n = 0 のとき 1 5 = 0.447 ⋯ < 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}=0.447\cdots <{\frac {1}{2}}} より、第2項を切り捨てた式は Fn の値を 0.447 以下(n> 4 のとき1%以下)の誤差与え近似式である。 F n ≒ ϕ n 5 {\displaystyle F_{n}\fallingdotseq {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}} この誤差絶対値0.5未満なので、Fn正確な整数値は以下の式で得られるF n = ⌊ ϕ n 5 + 1 2 ⌋ = ⌊ 1 5 ( 1 + 5 2 ) n + 1 2 ⌋ {\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor } ただし、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } は床関数である。 なお、後述負数番への拡張考慮した場合、n < 0 では逆に一般項の第1項絶対値0.5未満となるため、n < 0 における Fn正確な整数値は以下の式で得られるF n = − ⌊ ( − ϕ ) − n 5 + 1 2 ⌋ = − ⌊ 1 5 ( 1 − 5 2 ) n + 1 2 ⌋ {\displaystyle F_{n}=-\left\lfloor {\frac {(-\phi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =-\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor } これらのことから、任意の整数 n における Fn正確な整数値は以下の式で得られるF n = ( sgn ⁡ n ) ⌊ { ( sgn ⁡ n ) ϕ } | n | 5 + 1 2 ⌋ = ( sgn ⁡ n ) ⌊ 1 5 { 1 + ( sgn ⁡ n ) 5 2 } n + 1 2 ⌋ {\displaystyle F_{n}=(\operatorname {sgn} n)\left\lfloor {\frac {\{(\operatorname {sgn} n)\phi \}^{|n|}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =(\operatorname {sgn} n)\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{{\frac {1+(\operatorname {sgn} n){\sqrt {5}}}{2}}\right\}^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor } ただし、sgn x は符号関数である。 また、フィボナッチ数列漸化式次のように行列表現できる: ( F n + 2 F n + 1 ) = ( 1 1 1 0 ) ( F n + 1 F n ) {\displaystyle {F_{n+2} \choose F_{n+1}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{F_{n+1} \choose F_{n}}} ∴ ( F n + 1 F n F n F n − 1 ) = ( 1 1 1 0 ) n {\displaystyle \therefore {\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}} 母関数は g ( x ) = ∑ n = 0 ∞ F n x n = x 1 − x − x 2 {\displaystyle g(x)=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\dfrac {x}{1-x-x^{2}}}} である。

※この「一般項」の解説は、「フィボナッチ数」の解説の一部です。
「一般項」を含む「フィボナッチ数」の記事については、「フィボナッチ数」の概要を参照ください。

ウィキペディア小見出し辞書の「一般項」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。 お問い合わせ

「一般項」の例文・使い方・用例・文例

Weblio日本語例文用例辞書はプログラムで機械的に例文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。



一般項と同じ種類の言葉


英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「一般項」の関連用語

一般項のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



一般項のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
デジタル大辞泉デジタル大辞泉
(C)Shogakukan Inc.
株式会社 小学館
数理検定協会数理検定協会
Copyright©2024 数理検定協会 All Rights Reserved.
ウィキペディアウィキペディア
Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaの五角数 (改訂履歴)、フィボナッチ数 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。
Tanaka Corpusのコンテンツは、特に明示されている場合を除いて、次のライセンスに従います:
 Creative Commons Attribution (CC-BY) 2.0 France.
この対訳データはCreative Commons Attribution 3.0 Unportedでライセンスされています。
浜島書店 Catch a Wave
Copyright © 1995-2024 Hamajima Shoten, Publishers. All rights reserved.
株式会社ベネッセコーポレーション株式会社ベネッセコーポレーション
Copyright © Benesse Holdings, Inc. All rights reserved.
研究社研究社
Copyright (c) 1995-2024 Kenkyusha Co., Ltd. All rights reserved.
日本語WordNet日本語WordNet
日本語ワードネット1.1版 (C) 情報通信研究機構, 2009-2010 License All rights reserved.
WordNet 3.0 Copyright 2006 by Princeton University. All rights reserved. License
日外アソシエーツ株式会社日外アソシエーツ株式会社
Copyright (C) 1994- Nichigai Associates, Inc., All rights reserved.
「斎藤和英大辞典」斎藤秀三郎著、日外アソシエーツ辞書編集部編
EDRDGEDRDG
This page uses the JMdict dictionary files. These files are the property of the Electronic Dictionary Research and Development Group, and are used in conformance with the Group's licence.

©2024 GRAS Group, Inc.RSS