一般項
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/01/01 00:30 UTC 版)
151222 n 番目の五角数を Pn とすると、図より P1 = 1 , Pn+1 = Pn + 3n + 1 が成り立つ。よって五角数は P n = P 1 + ∑ k = 1 n − 1 ( 3 k + 1 ) = n ( 3 n − 1 ) 2 = n 2 + T n − 1 {\displaystyle P_{n}=P_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(3k+1)={\frac {n(3n-1)}{2}}=n^{2}+T_{n-1}} で与えられる。(ただし Tn は n 番目の三角数) 五角数を小さいものから順に列記すると 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, … (オンライン整数列大辞典の数列 A326) となる。
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一般項
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 22:38 UTC 版)
フィボナッチ数列の一般項は次の式で表される: F n = 1 5 { ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n } = ϕ n − ( 1 − ϕ ) n 5 = ϕ n − ( − ϕ ) − n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={\frac {\phi ^{n}-(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\phi ^{n}-(-\phi )^{-n}}{\sqrt {5}}}} この式は1843年にビネ (Jacques Philippe Marie Binet) が発表したことからビネの公式と呼ばれるが、それ以前の1730年(ド・モアブル)・1765年(オイラー)にも発表されており、ビネは最初の発見者ではない。 なお、この式に現れる ϕ = 1 + 5 2 = 1.618033988749894 ⋯ {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749894\cdots } は黄金数で、いくつかの数学的特徴がある。黄金数を作る二次方程式 x2 − x − 1 = 0 の解を α, β (α > β) とすると、上記の一般項は F n = α n − β n α − β {\displaystyle F_{n}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}} と表せる。 また、一般項の第2項 − 1 5 ( 1 − 5 2 ) n {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}} の絶対値は減少列で、n = 0 のとき 1 5 = 0.447 ⋯ < 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}=0.447\cdots <{\frac {1}{2}}} より、第2項を切り捨てた式は Fn の値を 0.447 以下(n> 4 のとき1%以下)の誤差で与える近似式である。 F n ≒ ϕ n 5 {\displaystyle F_{n}\fallingdotseq {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}} この誤差の絶対値は0.5未満なので、Fn の正確な整数値は以下の式で得られる。 F n = ⌊ ϕ n 5 + 1 2 ⌋ = ⌊ 1 5 ( 1 + 5 2 ) n + 1 2 ⌋ {\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor } ただし、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } は床関数である。 なお、後述の負数番への拡張を考慮した場合、n < 0 では逆に一般項の第1項の絶対値が0.5未満となるため、n < 0 における Fn の正確な整数値は以下の式で得られる。 F n = − ⌊ ( − ϕ ) − n 5 + 1 2 ⌋ = − ⌊ 1 5 ( 1 − 5 2 ) n + 1 2 ⌋ {\displaystyle F_{n}=-\left\lfloor {\frac {(-\phi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =-\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor } これらのことから、任意の整数 n における Fn の正確な整数値は以下の式で得られる。 F n = ( sgn n ) ⌊ { ( sgn n ) ϕ } | n | 5 + 1 2 ⌋ = ( sgn n ) ⌊ 1 5 { 1 + ( sgn n ) 5 2 } n + 1 2 ⌋ {\displaystyle F_{n}=(\operatorname {sgn} n)\left\lfloor {\frac {\{(\operatorname {sgn} n)\phi \}^{|n|}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =(\operatorname {sgn} n)\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{{\frac {1+(\operatorname {sgn} n){\sqrt {5}}}{2}}\right\}^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor } ただし、sgn x は符号関数である。 また、フィボナッチ数列の漸化式は次のように行列表現できる: ( F n + 2 F n + 1 ) = ( 1 1 1 0 ) ( F n + 1 F n ) {\displaystyle {F_{n+2} \choose F_{n+1}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{F_{n+1} \choose F_{n}}} ∴ ( F n + 1 F n F n F n − 1 ) = ( 1 1 1 0 ) n {\displaystyle \therefore {\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}} 母関数は g ( x ) = ∑ n = 0 ∞ F n x n = x 1 − x − x 2 {\displaystyle g(x)=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\dfrac {x}{1-x-x^{2}}}} である。
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