五角数

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五角数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/01 00:30 UTC 版)

はじめの5つの五角数の図示

五角数（ごかくすう、pentagonal number）とは、多角数の一種で、正五角形の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは 1 が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)

一般項

1		5		12		22

n 番目の五角数を P_n とすると、図より

P₁ = 1 , P_n+1 = P_n + 3n + 1

が成り立つ。よって五角数は

$P_{n}=P_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(3k+1)={\frac {n(3n-1)}{2}}=n^{2}+T_{n-1}$等比数列

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