ヤコビの三重積による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/09 08:20 UTC 版)
「オイラーの五角数定理」の記事における「ヤコビの三重積による証明」の解説
ヤコビの三重積の公式 ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 z n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + q 2 m − 1 z ) ( 1 + q 2 m − 1 z − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{q^{n^{2}}z^{n}}=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}z\right)\left(1+q^{2m-1}z^{-1}\right)}} に q = x3/2, z = −x−1/2 を代入すると ∑ n = − ∞ + ∞ ( x 3 / 2 ) n 2 ( − x − 1 / 2 ) n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x 3 m ) ( 1 − x ( 6 m − 3 ) / 2 x − 1 / 2 ) ( 1 − x ( 6 m − 3 ) / 2 x 1 / 2 ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x 3 m ) ( 1 − x 3 m − 2 ) ( 1 − x 3 m − 1 ) ∑ n = − ∞ + ∞ ( − 1 ) n x n ( 3 n − 1 ) / 2 = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x m ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left(x^{3/2}\right)^{n^{2}}\left(-x^{-1/2}\right)^{n}&=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{3m})(1-x^{(6m-3)/2}x^{-1/2})(1-x^{(6m-3)/2}x^{1/2})\\&=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{3m})(1-x^{3m-2})(1-x^{3m-1})\\\sum _{n=-\infty }^{+\infty }(-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}&=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{m})\end{aligned}}} となる。
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