ヤコビのテータ函数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:01 UTC 版)
「フルヴィッツのゼータ函数」の記事における「ヤコビのテータ函数との関係」の解説
ϑ ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta (z,\tau )} をヤコビのテータ函数とすると、 ∫ 0 ∞ [ ϑ ( z , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) [ ζ ( 1 − s , z ) + ζ ( 1 − s , 1 − z ) ] {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]} が、 ℜ s > 0 {\displaystyle \Re \,s>0} となる複素数 sと、整数を除く複素数 z に対して成立する。z = n が整数の場合は、この式が単純化できて、 ∫ 0 ∞ [ ϑ ( n , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = 2 π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) = 2 π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)} となる。ここの ζ はリーマンゼータ函数である。この後者の式は、リーマンによりもともと与えられたが、リーマンゼータ函数の函数等式であることに注意する。この z が整数であることとそうでないことの差異は、ヤコビのテータ函数が t → 0 {\displaystyle t\rightarrow 0} のときに z についてくし型関数（周期的デルタ函数）へ収束するという事実による。
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