リーマンゼータ函数とは？わかりやすく解説

複素数平面上のリーマンゼータ関数。点 $s$ における色が $ζ (s)$ の値を表しており、濃いほど $0$ に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。 $s = 1$ における白い点は極であり、実軸の負の部分および臨界線 $Re s = 1/2$ 上の黒い点は零点である。

数学におけるリーマンゼータ関数（リーマンゼータかんすう、英: Riemann zeta function、独: Riemannsche zeta funktion、中: 黎曼泽塔函数）は、18世紀にバーゼル問題を解決したレオンハルト・オイラーによる（現在リーマンゼータ関数と呼ばれる）関数の特殊値に関する重要な発見から始まり、後世により重要な貢献をしたベルンハルト・リーマンが用いた $ζ$ による表記にちなみ、リーマンゼータ関数またはリーマンのゼータ関数とも呼ばれる。リーマンゼータ関数は、数学の分野のひとつである解析的整数論において素数分布の研究をはじめとした重要な研究対象であり、数論や力学系の研究をはじめ数学や物理学などの様々な分野で用いられているゼータ関数と呼ばれる一連の関数の中でも、最も歴史的に古いものである。

リーマンゼータ関数は、 $s$ を複素数、 $n$ を自然数とするとき、

\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots

この節の加筆が望まれています。（2023年1月）

ディリクレ級数とオイラー積

ゼータ関数の重要な特徴は素数との関わりが深いことであり、この関係を最初に発見したオイラーにちなんでオイラー積と名付けられた。任意の自然数は、一意の素因数分解をもつ。このため $s > 1$ とし、

\prod _{p{\text{:prime}}}\sum _{n_{p}=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{s\cdot n_{p}}}}={\biggl (}1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{2^{2s}}}+\cdots {\biggr )}\!{\biggl (}1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{3^{2s}}}+\cdots {\biggr )}\!{\biggl (}1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{5^{2s}}}+\cdots {\biggr )}\cdots

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