リーマンゼータ関数の特殊値

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リーマンゼータ関数の特殊値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/06 18:07 UTC 版)

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解析学
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その他 解析学記号
表 話 編 歴

複素平面上のリーマンゼータ関数。点 s における色が ζ (s) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。s = 1 における白い点は極であり、実軸の負の部分および臨界線 Re s = 1/2 上の黒い点は零点である。

ベルンハルト・リーマン

リーマンゼータ関数の特殊値（リーマンゼータかんすうのとくしゅち、英: Particular values of the Riemann zeta function）とは、数学におけるリーマンゼータ関数（英: Riemann zeta function）に整数を代入した際の値のことをいう。これはリーマンゼータ値（英: Riemann zeta value）とも呼ばれる^{[注釈 1]}。

解説

ゼータ関数は複素解析に頻繁に登場する特殊関数であるが、解析的整数論においても重要な関数である。ゼータ関数は、実部が 1 より真に大きい複素数 s と自然数 n に対して、

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$

レオンハルト・オイラー

バーゼル問題は、スイスのレオンハルト・オイラーによって初めて解決された。オイラーは、三角関数のテイラー級数およびその無限乗積の x² の項の展開係数を比較することで、

${\displaystyle -{\frac {1}{3!}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$