リーマン・ジーゲルの公式

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リーマン・ジーゲルの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/11 02:44 UTC 版)

数学におけるリーマン–ジーゲルの公式（リーマン・ジ－ゲルのこうしき、英: Riemann–Siegel formula）はリーマンゼータ函数の「近似函数等式」（二つのディリクレ級数の和によるゼータ函数の近似）の誤差項に対する漸近公式である。この公式は、Siegel (1932) が1850年代からのベルンハルト・リーマンの未発表原稿において発見した。ジーゲルはこれをリーマン–ジーゲル積分公式（ゼータ函数の周回積分表示）から導いた。この積分公式はしばしばリーマン–ジーゲルの公式の値の計算に（ときには計算を劇的に速くするオドリツコ–シェーンハーゲ・アルゴリズムと組み合わせて）用いられる。臨界帯に沿って用いるとき、公式はハーディゼータ函数に対する公式となり、しばしば有用である。

M, N を非負整数とするとき、ゼータ函数は

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)$$