リーマンの積分公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:18 UTC 版)
「リーマン・ジーゲルの公式」の記事における「リーマンの積分公式」の解説
リーマンは ∫ 0 ↘ 1 e − i π u 2 + 2 π i p u e π i u − e − π i u d u = e i π p 2 − e i π p e i π p − e − i π p {\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}} を示した。ここで積分路は、0 と 1 の間を通過する傾き −1 の直線である (Edwards 1974, 7.9)。 彼はこれを使って、次に示すゼータ関数の積分公式を導き出した。 π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = π − s / 2 Γ ( s 2 ) ∫ 0 ↙ 1 x − s e π i x 2 e π i x − e − π i x d x + π − 1 − s 2 Γ ( 1 − s 2 ) ∫ 0 ↘ 1 x s − 1 e − π i x 2 e π i x − e − π i x d x {\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx}
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