積分公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/18 01:35 UTC 版)
微分積分学が完全に厳密に展開される以前に、弧長に対する現代的な積分公式の基礎は、ファン・ヘラート（オランダ語版）とフェルマーによって独立に発見される。1659年にファン・ヘラートは、曲線が囲む面積（これは実質的に積分）として弧長が解釈できることを示す構成法を公表し、それを放物線に適用した。一方、1660年にフェルマーは、ヘラートと同じ結果を含むより一般の理論を、著書『De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica』（曲線の直線との比較についての幾何学的論述）として出版した。 フェルマーはそれまでの自身による接線を用いる方法に基づいて、曲線 y = x 2 3 {\displaystyle y=x^{\frac {2}{3}}} を用いた。これは x = a における接線が傾き 3 2 a 1 2 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\,a^{\frac {1}{2}}} を持つから、接線の方程式は y = 3 2 a 1 2 ( x − a ) + f ( a ) {\displaystyle y={\tfrac {3}{2}}\,{a^{\frac {1}{2}}}(x-a)+f(a)} で与えられる。ここで a を a + ε に変更して、線分 AC が A から D までの曲線の弧長の比較的よい近似になるようにする。線分 AC の長さを求めるためにピタゴラスの定理を用い、 A C 2 = A B 2 + B C 2 = ε 2 + 9 4 a ε 2 = ε 2 ( 1 + 9 4 a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AC} ^{2}&=\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {BC} ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{\frac {9}{4}}\,a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{\frac {9}{4}}\,a\right)\end{aligned}}} から、両辺の平方根をとって A C = ε 1 + 9 4 a {\displaystyle \mathrm {AC} =\varepsilon {\sqrt {1+{\frac {9}{4}}\,a\ }}} を得る。弧長を近似するために、フェルマーはこのような小線分の列を足し上げたのである。
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積分公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/21 14:06 UTC 版)
「ベクトル解析の公式の一覧」の記事における「積分公式」の解説
ここで A {\displaystyle \mathbf {A} } , B {\displaystyle \mathbf {B} } , C {\displaystyle \mathbf {C} } は任意のベクトル場, f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} は任意のスカラー場である。また, V {\displaystyle V} は空間領域, ∂ V {\displaystyle \partial V} はその境界, S {\displaystyle S} は面, n {\displaystyle \mathbf {n} } はその法線ベクトル ( S = ∂ V {\displaystyle S=\partial V} の場合 n {\displaystyle \mathbf {n} } は外向きに取る), d S = n d S {\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {n} dS} は面要素ベクトルである。閉曲線 ∂ S {\displaystyle \partial S} に関する線積分 d r {\displaystyle d\mathbf {r} } は法線 n {\displaystyle \mathbf {n} } に対応する向きとする。 ガウスの発散定理および関連する公式（最後の等式はグリーンの定理である） ∫ V ∇ ⋅ A d V = ∮ ∂ V A ⋅ d S {\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \,dV=\oint _{\partial V}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} } ∫ V ∇ f d V = ∮ ∂ V f d S {\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } f\,dV=\oint _{\partial V}f\,d\mathbf {S} } ∫ V ∇ × A d V = ∮ ∂ V d S × A {\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \,dV=\oint _{\partial V}d\mathbf {S} \times \mathbf {A} } ∫ V ( f ∇ 2 g − g ∇ 2 f ) d V = ∮ ∂ V ( f ∇ g − g ∇ f ) ⋅ d S {\displaystyle \int _{V}(f\mathbf {\nabla } ^{2}g-g\mathbf {\nabla } ^{2}f)dV=\oint _{\partial V}(f\mathbf {\nabla } g-g\mathbf {\nabla } f)\cdot d\mathbf {S} } ストークスの定理および関連する公式 ∫ S ( ∇ × A ) ⋅ d S = ∮ ∂ S A ⋅ d r {\displaystyle \int _{S}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} } ∫ S d S × ∇ f = ∮ ∂ S f d r {\displaystyle \int _{S}d\mathbf {S} \times \mathbf {\nabla } f=\oint _{\partial S}fd\mathbf {r} } ∫ S ( d S × ∇ ) × A = ∮ ∂ S d r × A {\displaystyle \int _{S}(d\mathbf {S} \times \mathbf {\nabla } )\times \mathbf {A} =\oint _{\partial S}d\mathbf {r} \times \mathbf {A} }
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積分公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)
不定積分は、 ∫ a x B n ( t ) d t = B n + 1 ( x ) − B n + 1 ( a ) n + 1 {\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}} ∫ a x E n ( t ) d t = E n + 1 ( x ) − E n + 1 ( a ) n + 1 {\displaystyle \int _{a}^{x}E_{n}(t)\,dt={\frac {E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}}} である。定積分は、 ∫ 0 1 B n ( t ) B m ( t ) d t = ( − 1 ) n − 1 m ! n ! ( m + n ) ! B n + m for m , n ≥ 1 {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\mbox{ for }}m,n\geq 1} ∫ 0 1 E n ( t ) E m ( t ) d t = ( − 1 ) n 4 ( 2 m + n + 2 − 1 ) m ! n ! ( m + n + 2 ) ! B n + m + 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}} のような式が知られている。
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