ストークスの定理とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

ストークスの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/20 04:20 UTC 版)

ストークスの定理（ストークスのていり、英: Stokes’ theorem）は、ベクトル解析の定理のひとつである。3次元ベクトル場の回転を閉曲線を境界とする曲面上で面積分したものが、元のベクトル場を曲面の境界である閉曲線上で線積分したものと一致することを述べる^[1]。定理の名はイギリスの物理学者ジョージ・ガブリエル・ストークスに因む^[2]^[3]。ベクトル解析におけるグリーンの定理、ガウスの定理、ストークスの定理を、より一般的な向きづけられた多様体上に拡張したものも、同様にストークスの定理と呼ばれる。微分積分学の基本定理の、多様体への拡張であるともいえる。

ストークスの定理

詳細は「ケルビン・ストークスの定理」を参照

ベクトル解析におけるストークスの定理は、ベクトル場の回転を曲面上で面積分したものが、元のベクトル場を曲面の境界で線積分したものに一致することを述べたものであり、以下のように記述される。

\iint _{S}(\nabla \times {\boldsymbol {A}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{\partial S}{\boldsymbol {A}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}

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ストークスの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/21 13:56 UTC 版)

「微分積分学の基本定理」の記事における「ストークスの定理」の解説

微分積分学の基本定理は、高次元の線積分および面積分や、また多様体上にも一般化できる。移動面の微分積分（英語版）によって与えられるそのような一般化として、積分の時間発展（英語版）がある。微分積分学の基本定理の高次元での一般化として馴染み深いものに、発散定理と勾配定理（英語版）がある。この方向性での一般化として最も強力なものにストークスの定理がある（実際ストークスの定理はときどき「多変数微分積分学の基本定理」と呼ばれる）。ストークスの定理 ― M {\displaystyle M} を向き付けられた区分的に滑らかな n {\displaystyle n} 次元の多様体、 ω {\displaystyle \omega } をコンパクトな台を持つ M {\displaystyle M} 上の n − 1 {\displaystyle n-1} 形式とする。 ∂ M {\displaystyle \partial M} が M {\displaystyle M} から誘導された向き付きの M {\displaystyle M} の境界なら、この多様体に対して定義される外微分を d {\displaystyle d} で表せば、 ∫ M d ω = ∫ ∂ M ω {\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega } が成り立つ。この定理はしばしば、 M {\displaystyle M} が微分形式 ω {\displaystyle \omega } の定義されたより大きな多様体（例えば R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} ）に埋め込まれた向き付きの部分多様体である場合に利用される。

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