谷山・志村の定理とは？わかりやすく解説

谷山–志村予想（たにやま-しむらよそう、英: Modularity Theorem）とは、「有理数体上に定義された楕円曲線はすべてモジュラーである」という定理である。

1955年に日本の数学者の谷山豊によって提起され、1960年代以降に数学者の志村五郎によって定式化された。

この予想はアンドリュー・ワイルズとクリストフ・ブルイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーらによって証明された^{[注釈 1]}。今日ではモジュラー性定理またはモジュラリティ定理（modularity theorem）と呼ばれ^[1]、20世紀数学の快挙の一つとされている^[2]。ワイルズは半安定楕円曲線に対する谷山・志村予想を証明することでフェルマーの最終定理を証明した^[3]。

→詳細は「ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明」を参照

モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズによるより一般的な予想の特別な場合でもある^[4]。ラングランズ・プログラムは、保型形式、あるいは保型表現（適切なモジュラ形式の一般化）を、例えば数体上の任意の楕円曲線のような、より一般的な数論的代数幾何学の対象へ関連付けようとする^[5]。拡張された予想のうち、ほとんどのケースは未だ証明されていない^[6]が、Freitas, Le Hung & Siksek (2015) が実二次体上定義された楕円曲線がモジュラーであることを証明した。