代数学の基本定理とは？わかりやすく解説

代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of algebra）とは、「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」という定理である。

概要

実係数の代数方程式は一般に実数の範囲内に解を有するとは限らないが、実数体上で既約な多項式 $x 2 + 1$ の根として $i = \sqrt -1$ （虚数単位）という実数ではない「数」をただ 1 つ添加した体上では、任意の実係数の代数方程式はその拡大体上で解を持つ。

そうして得られた複素数を係数とする代数方程式の解も、複素数の範囲に必ず解を持つ。これが代数学の基本定理の主張である。

この定理の主張は、因数定理を帰納的に用いることより

複素係数の任意の

n

次多項式

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\quad (a_{n},\cdots ,a_{0}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0)

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彌永昌吉『数の体系』下、岩波書店〈岩波新書（黄版）43〉、1978年4月。ISBN 4-00-420043-1。
高木貞治『解析概論』（改訂第3版軽装版）岩波書店、1983年9月。ISBN 4-00-005171-7。
高木貞治『代数学講義』（改訂新版）共立出版、1965年11月。ISBN 4-320-01000-0。
Fine, Benjamin、Rosenberger, Gerhard 著、新妻弘・木村哲三訳『代数学の基本定理』共立出版、2002年2月。ISBN 4-320-01689-0。


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