リウヴィルの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/01 22:50 UTC 版)
ナビゲーションに移動 検索に移動リウヴィルの定理には以下の4つの定理が存在する。
- リウヴィルの定理 (解析学) - 解析学においてジョゼフ・リウヴィルにちなんだ定理。
- リウヴィルの定理 (物理学) - ハミルトン力学において位相空間の体積要素は時間変化しないという定理。
- リウヴィル＝アーノルドの定理 - ハミルトン力学における求積可能性と第一積分の存在の関係を述べた定理。
- リウヴィルの定理 (数論) - 数論においてジョゼフ・リウヴィルによって発見された定理で、代数的数と超越数を識別する原理を提示した。
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リウヴィルの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/27 09:11 UTC 版)
「ディオファントス近似」の記事における「リウヴィルの定理」の解説
詳細は「リウヴィル数」を参照 1840年代、ジョゼフ・リウヴィル (Joseph Liouville) は、代数的数の近似に対する最初の下界を得た。x が有理数体上次数 n の代数的無理数であれば、ある定数 c(x) > 0 が存在して、任意の整数 p と q, ただし q > 0, に対し、 | x − p q | > c ( x ) q n {\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}} が成り立つ。 この結果によってジョゼフ・リウヴィルは、超越数であることが初めて証明された例であるリウヴィル数、 ∑ j = 1 ∞ 10 − j ! = 0.110001000000000000000001000 … {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots } を得た。この数は、次数 n をどのようにとっても、リウヴィルの定理を満たさない。 ディオファントス近似と超越数論の間のこのつながりは、今日まで続いている。証明の技術の多くが2つの分野の間で共有されている。
※この「リウヴィルの定理」の解説は、「ディオファントス近似」の解説の一部です。
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