ポアソン括弧
ポアソンの括弧
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/16 07:34 UTC 版)
「リウヴィルの定理 (物理学)」の記事における「ポアソンの括弧」の解説
定理はよくポアソンの括弧のことばで、 ∂ ρ ∂ t = − { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\,\rho ,H\,\}} あるいは、リウヴィル作用素やリウヴィリアンのことばで、 i L ^ = ∑ i = 1 n [ ∂ H ∂ p i ∂ ∂ q i − ∂ H ∂ q i ∂ ∂ p i ] = { ⋅ , H } {\displaystyle \mathrm {i} {\hat {\boldsymbol {L}}}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=\{\cdot ,H\}} を、 ∂ ρ ∂ t + i L ^ ρ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mathrm {i} {\hat {\boldsymbol {L}}}}\rho =0} として言い換えることがよくある。
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ポアソンの括弧
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:21 UTC 版)
「ハミルトンベクトル場」の記事における「ポアソンの括弧」の解説
ハミルトンベクトル場の考え方は、シンプレクティック多様体 M 上の微分可能な関数上の歪対称な双線型作用素であるポアソン括弧を導く。それは { f , g } = ω ( X g , X f ) = d g ( X f ) = L X f g {\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})=dg(X_{f})={\mathcal {L}}_{X_{f}}g} で定義される。ここに、 L X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}} はベクトル場 X に沿ったリー微分を表す。さらに、次の等式が成り立つ。 X { f , g } = [ X f , X g ] . {\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}].} ここに右辺はハミルトニアン f と g を持つハミルトンベクトル場のリー括弧を表す。したがって（ポアソン括弧の証明より）、ポアソン括弧はヤコビ恒等式 { { f , g } , h } + { { g , h } , f } + { { h , f } , g } = 0 {\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0} を満たす。これは以下のことを意味する。M 上の可微分関数全体のなすベクトル空間にポアソン括弧を与えると R 上のリー環の構造を持ち、対応 f ↦ Xf はリー環準同型であり、その核は局所定数関数（M が連結ならば定数関数）からなる。
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