ハイゼンベルクの運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/07 09:25 UTC 版)
ハイゼンベルクの運動方程式（英: Heisenberg equation of motion）は、量子力学をハイゼンベルク描像によって記述する場合の、オブザーバブルの時間発展についての基礎方程式である。
今日、この式に対してハイゼンベルクの名前が用いられることが多いが、歴史的にはこの方程式を与えたのはハイゼンベルクではなく1925年のボルンとヨルダンであり、また同年にディラックも独立にこの式を提出した[1][2][3]。この方程式がシュレーディンガー描像におけるシュレーディンガー方程式と数学的に等価であることは、エルヴィン・シュレーディンガーとポール・ディラックによって独立に証明された。
ハイゼンベルクの運動方程式
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ハイゼンベルクの運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「ハイゼンベルクの運動方程式」の解説
Hを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素とし、Aを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素で、 A ( D o m ( H ) ) ⊂ D o m ( H ) {\displaystyle A(\mathrm {Dom} (H))\subset \mathrm {Dom} (H)} を満たすものとし、 ψ ∈ D o m ( H ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} (H)} を取り、 A t = U − t A U t {\displaystyle A_{t}=U_{-t}AU_{t}} 、ここで U t = e x p ( − i t ℏ H ) {\displaystyle U_{t}=\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)} とすると、これまでの議論から、 A t ( ψ ) ∈ D o m ( H ) {\displaystyle A_{t}(\psi )\in \mathrm {Dom} (H)} が任意の t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbf {R} } に対して成立し、しかも d A t ( ψ ) d t = [ H , A t ] ( ψ ) {\displaystyle {\mathrm {d} A_{t}(\psi ) \over \mathrm {d} t}=[H,A_{t}](\psi )} が成立する事が示せる新井(p239)。ここで上式左辺の時間微分は強微分である新井(p239)。 一般に自己共役作用素の族 { B t } t ∈ R {\displaystyle \{B_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} と、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元ψに対し、 d B t ( ψ ) d t = [ H , B t ] ( ψ ) {\displaystyle {\mathrm {d} B_{t}(\psi ) \over \mathrm {d} t}=[H,B_{t}](\psi )} という形の { B t } t ∈ R {\displaystyle \{B_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} に関する方程式をハイゼンベルクの運動方程式という新井(p239)。上述した A t {\displaystyle A_{t}} に関する議論は、ハイゼンベルクの運動方程式の解が存在する十分条件を示した事になる。
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