交換関係とポアソン括弧
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/16 07:42 UTC 版)
「正準量子化」の記事における「交換関係とポアソン括弧」の解説
正準量子化の操作は、古典力学での「ポアソン括弧」と量子力学における「交換関係」の対応原理を考えると、より明確になる。 { A , B } = ∑ α ( ∂ A ∂ q α ∂ B ∂ p α − ∂ B ∂ q α ∂ A ∂ p α ) ⇔ 1 i ℏ [ A ^ , B ^ ] = 1 i ℏ ( A ^ B ^ − B ^ A ^ ) {\displaystyle \{A,B\}=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial {}A}{\partial {}q_{\alpha }}}{\frac {\partial {}B}{\partial {}p_{\alpha }}}-{\frac {\partial {}B}{\partial {}q_{\alpha }}}{\frac {\partial {}A}{\partial {}p_{\alpha }}}\right)\Leftrightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\frac {1}{i\hbar }}\left({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\right)} 実際、正準変数については、 { q α , p β } = δ α β ⇔ [ q ^ α , p ^ β ] = i ℏ δ α β {\displaystyle \{q_{\alpha },p_{\beta }\}=\delta _{\alpha \beta }\Leftrightarrow [{\hat {q}}_{\alpha },{\hat {p}}_{\beta }]=i\hbar \delta _{\alpha \beta }} { q α , q β } = { p α , p β } = 0 ⇔ [ q ^ α , q ^ β ] = [ p ^ α , p ^ β ] = 0 {\displaystyle \{q_{\alpha },q_{\beta }\}=\{p_{\alpha },p_{\beta }\}=0\Leftrightarrow [{\hat {q}}_{\alpha },{\hat {q}}_{\beta }]=[{\hat {p}}_{\alpha },{\hat {p}}_{\beta }]=0} の関係が成り立つ。力学量の時間発展についても、この対応原理から d A d t = { A , H } + ∂ A ∂ t ⇔ d A ^ d t = 1 i ℏ [ A ^ , H ^ ] + ∂ A ^ ∂ t {\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\Leftrightarrow {\frac {d{\hat {A}}}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {H}}]+{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}} とハイゼンベルクの運動方程式が現れる。 言い換えれば、正準量子化では、ハミルトン力学における2つのc-数の力学量 A , B {\displaystyle A,\,B} の満たすポアソン括弧を、q-数(演算子)の力学量 A ^ , B ^ {\displaystyle {\hat {A}},\,{\hat {B}}} の満たす交換関係に対応させ、その関係を通じて量子力学的表現を得ているともいえる。これらの対応原理は1925年にディラックによって明らかにされた。
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