q-数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/08 13:44 UTC 版)
最も基本的な q-数 [n]q とは、自然数 n の q-類似であって、q → 1 の極限で [n]q → n となるように [ n ] q := 1 − q n 1 − q = ∑ k = 0 n − 1 q k {\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}} と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、 q ↦ q − 1 {\displaystyle q\mapsto q^{-1}} で不変な [ n ] q := q n − q − n q − q − 1 {\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}}}} あるいは [ n ] q := q n / 2 − q − n / 2 q 1 / 2 − q − 1 / 2 {\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}}} と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の q-階乗やq-二項係数は q-数を用いて同様に定義される。
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