q-展開とムーンシャイン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 18:24 UTC 版)
「j-不変量」の記事における「q-展開とムーンシャイン」の解説
j の注目すべき性質のいくつかは、q = exp(2πiτ) でのローラン級数として書かれるq-展開（フーリエ級数展開）に関連している。q-展開は、 j ( τ ) = 1 q + 744 + 196884 q + 21493760 q 2 + 864299970 q 3 + 20245856256 q 4 + ⋯ {\displaystyle j(\tau )={1 \over q}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots } で始まっている。 なお、 j は尖点で一位の単純極を持つので、q-展開には q−1 以下の項がない。 このフーリエ係数はすべて整数であり、このことがいくつかの概整数、例えば有名なラマヌジャン定数（英語版）(Ramanujan's constant)の理由となる。 e π 163 ≈ 640320 3 + 744 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744} qn の係数の漸近公式（英語版）(asymptotic formula)は、ハーディ・リトルウッドの円周法（英語版）(Hardy–Littlewood circle method)で示すことができたように、 e 4 π n 2 n 3 / 4 {\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}n^{3/4}}}} , により与えられる。
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