q二項係数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/06 17:18 UTC 版)
q二項係数 (英: q-binomial coefficient) は二項係数のq-類似である。 [ n k ] q := [ n ] q ! [ n − k ] q ! [ k ] q ! = ( q ; q ) n ( q ; q ) n − k ( q ; q ) k . {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{k}}}.}
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q-二項係数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/08 13:44 UTC 版)
q-二項係数は、二項係数の q-類似で、 ( n k ) q := [ n ] q ! [ n − k ] q ! [ k ] q ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}} によって定義される。q が素数のべきのとき、q-二項係数は有限体 Fq 上の n 次元線型空間内における k 次元部分空間の数に等しい。 より一般に q-多項係数は n = k1 + … + km のとき ( n k 1 , … , k m ) q = [ n ] q ! [ k 1 ] q ! ⋯ [ k m ] q ! {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[k_{1}]_{q}!\dotsm [k_{m}]_{q}!}}} によって定義される。このとき ( n k 1 , … , k m ) q = ( n k 1 ) q ( n − k 1 k 2 ) q ⋯ ( n − k 1 − ⋯ − k m − 1 k m ) q {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\binom {n}{k_{1}}}_{q}{\binom {n-k_{1}}{k_{2}}}_{q}\dotsm {\binom {n-k_{1}-\dotsb -k_{m-1}}{k_{m}}}_{q}} ( n k ) q = ( n − 1 k ) q + q n − k ( n − 1 k − 1 ) q {\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\binom {n-1}{k}}_{q}+q^{n-k}{\binom {n-1}{k-1}}_{q}} のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。
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