多項係数とは？わかりやすく解説

パスカルの三角錐を5段目まで描いたもの。側面（橙色の格子）は何れもパスカルの三角形になっている。矢印は、1つ上の段から和を取ることを表している。

数学における多項係数（たこうけいすう、英: Multinomial coefficient）は二項係数を一般化したものである。

定義

非負整数列 $k 1, k 2, \dots, k r$ および $n = k 1 + k 2 + \dots + k r$ に対して、多項係数が定義される。

多項係数を直接表示すると

{\binom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{r}}}:={\frac {n!}{k_{1}!\dotsm k_{r}!}}

となる。ここに $x!$ は $x$ の階乗を表す。

多項係数は帰納的に表すこともできる：

{\binom {n}{k_{1},\cdots ,k_{r}}}:={\binom {n-1}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{r}}}+\cdots +{\binom {n-1}{k_{1},\cdots ,k_{r-1},k_{r}-1}}

多項係数は整数となる。したがって、多項係数を規則的に並べていくと $r$ -単体となる（パスカルの単体。 $r = 3$ のときについてはパスカルの三角錐（英語版）を参照）。

多項係数は二項係数を用いて

{\binom {k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{r}}{k_{r}}}{\binom {k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{r-1}}{k_{r-1}}}\cdots {\binom {k_{1}}{k_{1}}}=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}{\dbinom {\sum \limits _{s=1}^{i}k_{s}}{k_{i}}}

と表すこともできる。

応用と解釈

多項定理

詳細は「多項定理」を参照

二項定理の拡張である、多項定理と呼ばれる等式

(x_{1}+\dotsb +x_{r})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}\cdot {x_{1}}^{k_{1}}\dotsm {x_{r}}^{k_{r}}

が成立する。特に $x 1 = x 2 = \dots = x r = 1$ と置くことにより

r^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}

が得られる。

多項分布

多項係数の応用として、多項分布

P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2},\dotsc ,X_{r}=k_{r})={\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}\dotsm {p_{r}}^{k_{r}}

は離散確率変数に関する確率分布である。

組合せ論的解釈

組み分け問題

多項係数 $(n k 1, k 2, \dots, k r)$ は $n$ 個の対象を $r$ 個の区別のつく箱に分けて入れるとき、各 $i$ 番目の箱に $k i$ 個だけの対象が含まれるように入れる方法の総数である。

重複置換の問題

多項係数 $(n k 1, k 2,\dots, k r)$ は、 $1 \leq i \leq r$ に対して各々ちょうど $k i$ 個の区別不能な対象が含まれる $n$ 個の対象の置換の総数にも等しい。

例: 問い. MISSISSIPPI の文字を並べ替えて得られる「語」は相異なるものが全部でいくつあるか？

この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M が $1$ 個 ( $k 1 = 1$ ), 二種類目の文字 I が $4$ 個 ( $k 2 = 4$ ), 三種類目の文字 S が $4$ 個 ( $k 3 = 4$ ), 残りは P が $2$ 個 ( $k 4 = 2$ ) であるから、多項係数