多重指数の演算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/07 06:40 UTC 版)
以下、α, β は適当な数のクラスに成分を持つ多重指数とし、（通常の意味で書かれた右辺の式が定義される限りにおいて）右辺によって左辺を定義する。 半順序 α ≤ β : ⟺ α i ≤ β i ∀ i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \alpha \leq \beta :\iff \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}} 成分ごとの加法（と減法） α ± β := ( α 1 ± β 1 , α 2 ± β 2 , … , α n ± β n ) {\displaystyle \alpha \pm \beta :=(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})} ただし、減法は β ≤ α {\displaystyle \beta \leq \alpha } の時に限り定義される。 長さ、大きさ、絶対値、全次数 | α | := α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |:=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} 階乗 α ! := α 1 ! ⋅ α 2 ! ⋯ α n ! {\displaystyle \alpha !:=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!} またこれらを複合する形で 二項係数 ( α β ) = α ! β ! ( α − β ) ! := ( α 1 β 1 ) ( α 2 β 2 ) ⋯ ( α n β n ) {\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}:={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}} 多項係数 ( | α | α ) = | α | ! α ! := ( α 1 + α 2 + ⋯ + α n ) ! α 1 ! α 2 ! ⋯ α n ! {\displaystyle {\binom {|\alpha |}{\alpha }}={\frac {|\alpha |!}{\alpha !}}:={\frac {(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}} なども定義できる。
※この「多重指数の演算」の解説は、「多重指数」の解説の一部です。
「多重指数の演算」を含む「多重指数」の記事については、「多重指数」の概要を参照ください。
- 多重指数の演算のページへのリンク
