二項係数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/13 01:12 UTC 版)
数学における二項係数（にこうけいすう、英: binomial coefficients）は二項展開において係数として現れる正の整数の族である。二項係数は2つの非負整数で添字付けられ、添字 n, k を持つ二項係数はふつう (n
k) とか (n¦k) と書かれる（これは二項冪 (1 + x)n の展開における xk の項の係数である。適当な仮定の下で、この係数の値は で与えられる）。二項係数を、連続する整数 n に対する各行に k を 0 から n まで順に並べて得られる三角形状の数の並びをパスカルの三角形と呼ぶ。
注釈
- ^ (Graham, Knuth & Patashnik 1994) を参照、これはまた k < 0 のとき (n
k) = 0 とする。別の一般化としてガンマ函数を用いて k < 0 のとき (n
k) に非零な値を割り当てることもできるが、それは多くの二項係数に関する公式を満足せず、これを定義として広汎に適用することはできない。そのように非零値を選ぶものの一つとして、見た目の美しい Holton (1997)の「パスカルの風車」("Pascal windmill") が導かれる[4]が、これはパスカルの等式も（原点において）成り立たない。 - ^ これはテイラーの定理の離散版として理解でき、ニュートン多項式と近しい。この形の交代和はネールント–ライス積分として表せる。
出典
- ^ Lilavati Section 6, Chapter 4 (see Knuth (1997)).
- ^ Higham (1998)
- ^ Shilov (1977, p. 92)
- ^ Holton, Pedersen (1997), Mathematical Reflections: In a Room With Many Mirrors, Springer, ISBN 978-1-4612-1932-3
- ^ Thomas, Muir (1904). “Note on selected combinations”. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. doi:10.1017/S0370164600007768.
- ^ Boardman, Michael (2004), “The Egg-drop numbers”, Mathematics Magazine 77 (5): 368-372, JSTOR 3219201, MR1573776, "it is well known that there is no closed form (that is, direct formula) for the partial sum of binomial coefficients".
- ^ see induction developed in eq (7) p.1389 in Aupetit, Michael (2009), “Nearly homogeneous multi-partitioning with a deterministic generator”, Neurocomputing 72 (7-9): 1379-1389, doi:10.1016/j.neucom.2008.12.024, ISSN 0925-2312.
- ^ Ruiz, Sebastian (1996). “An algebraic identity leading to Wilson's theorem”. The Mathematical Gazette 80 (489): 579-582. doi:10.2307/3618534.
- ^ Knuth 1997, p. 30.
- ^ see e.g. Ash (1990, p. 121) or Flum & Grohe (2006, p. 427).
- ^ Munarini, Emanuele (2011), “Riordan matrices and sums of harmonic numbers”, Applicable Analysis and Discrete Mathematics 5 (2): 176-200, doi:10.2298/AADM110609014M, MR2867317.
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