指数が素数の場合とは? わかりやすく解説

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指数が素数の場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/14 07:38 UTC 版)

一年生の夢」の記事における「指数が素数の場合」の解説

この等式は、特定の条件下で成り立つこともある。 pが素数で、xとyが標数pの可換環の元である場合等式 (x + y)p = xp + yp成立する。これは二項係数素因数内の素数について調べることで証明される。n番目の二項係数は ( p n ) = p ! n ! ( p − n ) ! . {\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}.} で表される分子はpの階乗であるから、pで割り切れるまた、0 < n < pであること、pは素数であり、nのすべての素因数はpよりも小さいことから、n!と(p - n)!はともにpと互いに素であると言える加えて二項係数は常に整数であるから、n番目の係数はpで常に割り切れ、したがって環において0となる。したがって展開した最初最後の項である1が残り、与式を得る。 したがって標数pの環において「一年生の夢」は正しい。このことから、p乗することによってフロベニウス自己準同型として知られる形の自己準同型生成されることがわかる。 ここで標数pが素数であることがこの「一年生の夢定理成立に必要である。関連する定理として、pが素数ならば、多項式環 Z p [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]} において (x + 1)p ≡ xp + 1 であるというものがある。この定理は、現代素数判定における重要な役割果たしている。

※この「指数が素数の場合」の解説は、「一年生の夢」の解説の一部です。
「指数が素数の場合」を含む「一年生の夢」の記事については、「一年生の夢」の概要を参照ください。

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