二項価格評価モデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/25 17:43 UTC 版)
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二項価格評価モデル（にこうかかくひょうかモデル、英: binomial pricing model）は、無裁定条件によって離散期間における金融商品のオプションを価格付けする方法。格子モデルの1つ。このモデルの条件を連続期間と配当なしとヨーロピアンオプションに替え期間の長さを0に近づけるとブラック-ショールズ方程式になる。
このモデルでオプションを価格付けの流れはまず二項一期間モデルで存続期間は満期まで1期間だけのオプションの価値を全て計算し、同値マルチンゲール測度Qで期間つつ樹形の向きを逆に繰り返されてオプション現在の価値を計算する。
二項一期間モデル
商品Sいまの価格はS0(過ごした時間は0という意味)、時間1の時に商品Sの価格はS0からS1(過ごした時間は1)になって上昇したら、価格Su、下降の場合はSdで示す、この商品に対すコールオプションの行使価格はK、存続期間は1、安全債券の金利はrである。このあと現実に存在する商品Sと安全債券を取り合わせて複製ポートフォリオを作成。この複製ポートフォリオはコールオプションの利益を再現するために商品Sと安全債券の配置比率を計算する。
上昇した時にコールオプションの利益はSu－K、下降したときはSd－K。でもコールオプションはこの契約を履行して利益を精算する義務がない、もし下降したときの利益Sd－Kはマイナスになったら、この契約を履行しなくてもいいから、利益は0。次の式のようにしめす：
上昇する時の価値： 
Category:金融派生商品
二項価格評価モデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/03 15:45 UTC 版)
詳細は「二項価格評価モデル」を参照 格子モデルの簡単な例として、アメリカ型プット・オプションの公正価値を二進木で表現する価格評価モデルを考える。まず、原資産が、配当率（株価に対する比率で示した率） q が既知である株式の場合を考える。現在の株価を S0 、そのボラティリティを σ、行使価格を K 、無リスク金利を r とする。オプションの満期までの期間 T を、長さ δt の N = T /δt 個の期間に分割し、時点 i δt での j 番目の格子点 (i , j) （0 ≤j ≤i ≤N ） におけるオプション価格を fi , j とする。 u = e σ δ t d = e − σ δ t p = e ( r − q ) δ t − d u − d {\displaystyle {\begin{aligned}&u=e^{\sigma {\sqrt {\delta t}}}\\&d=e^{-\sigma {\sqrt {\delta t}}}\\&p={\frac {e^{(r-q)\delta t}-d}{u-d}}\end{aligned}}} に対し、 f N , j = max { K − S 0 u j d N − j , 0 } ( j = 0 , 1 , ⋯ , N ) f i , j = max { K − S 0 u j d i − j , e ( w − r ) δ t { p f i + 1 , j + 1 + ( 1 − p ) f i + 1 , j } } {\displaystyle {\begin{aligned}&f_{N,j}=\max \left\{K-S_{0}u^{j}d^{N-j},0\right\}\qquad (j=0,1,\cdots ,N)\\&f_{i,j}=\max \left\{K-S_{0}u^{j}d^{i-j},e^{(w-r)\delta t}\{pf_{i+1,j+1}+(1-p)f_{i+1,j}\}\right\}\,\end{aligned}}} により、i = N から 1 ずつ減らし、遡って帰納的に fi, j が求められる。ここで、u , d はそれぞれ、二項格子における株価の上昇率、下降率、p は、株価上昇の危険中立確率である。 株価指数オプション、通貨オプション、先物オプションの場合、上式で q をそれぞれ、株式ポートフォリオの配当率、外国通貨の無リスク金利、自国通貨の無リスク金利（＝r） に置き換えれば良い。
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