二項分布：既知の試行回数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/17 08:32 UTC 版)
「指数型分布族」の記事における「二項分布：既知の試行回数」の解説
離散変数を対象とする指数型分布族の例として、試行回数 n {\displaystyle n} が既知の二項分布を考える。 この分布の確率質量関数は f ( x ) = ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x , x ∈ { 0 , 1 , 2 , … , n } . {\displaystyle f(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x},\quad x\in \{0,1,2,\ldots ,n\}.} これは同等に次のように書くことができる。 f ( x ) = ( n x ) exp ( x log ( p 1 − p ) + n log ( 1 − p ) ) , x ∈ { 0 , 1 , 2 , … , n } . {\displaystyle f(x)={n \choose x}\exp \left(x\log \left({\frac {p}{1-p}}\right)+n\log(1-p)\right),\quad x\in \{0,1,2,\ldots ,n\}.} 二項分布は指数型分布族であり、その自然パラメーター η {\displaystyle \eta } は η = log p 1 − p . {\displaystyle \eta =\log {\frac {p}{1-p}}.} となる。この p {\displaystyle p} の関数はロジットと呼ばれる。
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