二項定理とは? わかりやすく解説

にこう‐ていり〔ニカウ‐〕【二項定理】

読み方:にこうていり

代数で、二項式累乗を、二項同次式として表す公式。(ab2a2+2abb2など。

二項定理の画像

二項定理

(a+b)n展開したものを二項定理という。[数式]成り立つ。


二項定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/04/20 01:01 UTC 版)

二項係数を並べるとパスカルの三角形が構成される。各要素はその上にある2つの要素の和に等しい。

初等代数学における二項定理(にこうていり、: binomial theorem)または二項展開 (binomial expansion) とは、二項式を代数的に展開した式を表したものである。

定理の主張から、冪 (x + y)n を展開すると、n次の項 (n
k
)xn−k yk (0 ≤ kn)
[注 1]総和になる。ここでの係数 (n
k
)
二項係数と呼び、正整数となる。

二項係数 (n
k
)
は2つの観点から解釈することができる。一つには


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二項定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/05/26 11:07 UTC 版)

除算 (デジタル)」の記事における「二項定理」の解説

ゴールドシュミット法は、二項定理を使ってより単純化し係数を使うことができる。 D ∈ ( 1 2 , 1 ] {\displaystyle D\in ({\tfrac {1}{2}},1]} となるよう N/D を2の冪スケーリングすることを前提とする。ここで D = 1 − x {\displaystyle D=1-x} となるよう x を求めF i = 1 + x 2 i {\displaystyle F_{i}=1+x^{2^{i}}} とする。すると次のうになるN 1x = N ⋅ ( 1 + x ) 1 − x 2 = N ⋅ ( 1 + x ) ⋅ ( 1 + x 2 ) 1 − x 4 = N ⋅ ( 1 + x ) ⋅ ( 1 + x 2 ) ⋅ ( 1 + x 4 ) 1 − x 8 {\displaystyle {\frac {N}{1-x}}={\frac {N\cdot (1+x)}{1-x^{2}}}={\frac {N\cdot (1+x)\cdot (1+x^{2})}{1-x^{4}}}={\frac {N\cdot (1+x)\cdot (1+x^{2})\cdot (1+x^{4})}{1-x^{8}}}} x ∈ [ 0 , 1 2 ) {\displaystyle x\in [0,{\tfrac {1}{2}})} なので、 n {\displaystyle n} ステップ後には 1 − x 2 n {\displaystyle 1-x^{2^{n}}} と 1 の相対誤差は 2 − n {\displaystyle 2^{-n}} となり、 2 n {\displaystyle 2^{n}} の二進数精度では 1 と見なせるようになる。このアルゴリズムIBM方式と呼ぶこともある。

※この「二項定理」の解説は、「除算 (デジタル)」の解説の一部です。
「二項定理」を含む「除算 (デジタル)」の記事については、「除算 (デジタル)」の概要を参照ください。

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