ハイパー演算子とは？わかりやすく解説

ハイパー演算子（ハイパーえんざんし、hyper operator）は、加算、乗算、冪乗を一般化した演算のための演算子である。

表記

表記の制約のため、以後丸囲み文字(①,②,③,…)を丸かっこ入り文字 (n) で表すものとする。

加算演算子を上付き(1) (a + b = a ⁽¹⁾b)、乗算演算子を上付き(2) (ab = a ⁽²⁾b)、冪乗演算子を上付き(3) (a^b = a ⁽³⁾b)で表し、それらを一般の非負整数nに一般化した上付き(n) (a ⁽ⁿ⁾ b) がハイパー演算子である。

それらを関数形式で表す hypern、nを変数とした3変数関数 hyper も定義される。hyper1は加算、hyper2は乗算、hyper3は冪乗であり、さらにhyper4はテトレーション (tetration)、hyper5はペンテーション (pentation)、hyper6はヘキセーション (hexation)･･･と呼ばれる。

n = 0～4 の例は次のとおり。

{\begin{aligned}\operatorname {hyper0} \left(a,b\right)=\operatorname {hyper} \left(a,0,b\right)=a^{\left(0\right)}b=&b+1\\\operatorname {hyper1} \left(a,b\right)=\operatorname {hyper} \left(a,1,b\right)=a^{\left(1\right)}b=&a+b\\\operatorname {hyper2} \left(a,b\right)=\operatorname {hyper} \left(a,2,b\right)=a^{\left(2\right)}b=&ab=\underbrace {a+{a+{\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots +{a+{a}}}}} _{{\text{長さ}}b}=\int _{0}^{b}a\,db\\\operatorname {hyper3} \left(a,b\right)=\operatorname {hyper} \left(a,3,b\right)=a^{\left(3\right)}b=&a^{b}=a\uparrow b=\underbrace {a\times {a\times {\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \times {a\times {a}}}}} _{{\text{長さ}}b}\\\operatorname {hyper4} \left(a,b\right)=\operatorname {hyper} \left(a,4,b\right)=a^{\left(4\right)}b=&\,^{b}a=a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} _{{\text{高さ}}b}\end{aligned}}

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