下付きハイパー演算子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/26 04:58 UTC 版)
「ハイパー演算子」の記事における「下付きハイパー演算子」の解説
n ≥ 3（冪乗） 以上では結合律が成り立たないので、右からの優先順位が定められていて、 hyper ( n + 1 ) ( a , b ) = a ( n + 1 ) b = a ( n ) a ( n ) ⋯ ( n ) a ( n ) a ⏟ b copies of a = a ( n ) ( a ( n ) ⋯ ( n ) ( a ( n ) a ) ⋯ ) ⏟ b copies of a {\displaystyle \operatorname {hyper} \left(n+1\right)\left(a,b\right)=a^{\left(n+1\right)}b=\underbrace {a^{\left(n\right)}a^{\left(n\right)}\cdots ^{\left(n\right)}a^{\left(n\right)}a} _{b{\text{ copies of }}a}=\underbrace {a^{\left(n\right)}\left(a^{\left(n\right)}\cdots ^{\left(n\right)}\left(a^{\left(n\right)}a\right)\cdots \right)} _{b{\text{ copies of }}a}} である。 それに対し、ハイパー演算子を下付きにすることで、優先順位を左からとする演算を表せる。つまり、 hyper n + 1 ( a , b ) = a ( n + 1 ) b = ( ⋯ ( a ( n ) a ) ( n ) ⋯ ( n ) a ) ( n ) a ⏟ b copies of a {\displaystyle \operatorname {hyper} _{n+1}\left(a,b\right)=a_{\left(n+1\right)}b=\underbrace {\left(\cdots \left(a^{\left(n\right)}a\right)^{\left(n\right)}\cdots ^{\left(n\right)}a\right)^{\left(n\right)}a} _{b{\text{ copies of }}a}} である。 ただし、下付きハイパーn+1演算子はハイパーn演算子を使って簡単に表せる、たとえば a ( 4 ) b = a ( 3 ) a ( 3 ) ( b − 1 ) = a a ( b − 1 ) {\displaystyle a_{\left(4\right)}b=a_{\left(3\right)}a_{\left(3\right)}\left(b-1\right)=a^{a^{\left(b-1\right)}}} （冪乗法則より）なので、本質的に新しい演算ではなく、下付きハイパー演算子の用途はあまりない。
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