下付き分岐群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 03:25 UTC 版)
局所体の有限次ガロア拡大 L / K {\displaystyle L/K} のガロア群 G {\displaystyle G} の詳しい理解を可能にしてくれるものが分岐群である。 K {\displaystyle K} の整数環を O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} と置き、 L {\displaystyle L} の付値、その整数環、その極大イデアルを、それぞれ w , O L , p {\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}} とする。ヘンゼルの補題（英語版）により、ある α ∈ L {\displaystyle \alpha \in L} を使って O L = O K [ α ] {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]} と書くことができる（これは原始元定理より強い主張である）。整数 i ≥ − 1 {\displaystyle i\geq -1} に対して、 G i {\displaystyle G_{i}} を次の同値な条件を満たす s ∈ G {\displaystyle s\in G} 全体の集合として定義する。 (i) s {\displaystyle s} は O L / p i + 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}} に自明に作用する (ii) 全ての x ∈ O L {\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}} について w ( s ( x ) − x ) ≥ i + 1 {\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1} が成り立つ (iii) w ( s ( α ) − α ) ≥ i + 1 {\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1} この群 G i {\displaystyle G_{i}} のことを i {\displaystyle i} 次分岐群（ i {\displaystyle i} -th ramification group）という。これらは減少フィルトレーション（英語版） G − 1 = G ⊃ G 0 ⊃ G 1 ⊃ … { ∗ } {\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}} を定める。(i) より G i {\displaystyle G_{i}} は正規であることが分かり、(iii) より十分大きな i {\displaystyle i} に対して自明になることが分かる。 G 0 {\displaystyle G_{0}} は、ガロア拡大での素イデアルの分解との関係に鑑み、慣例的に G {\displaystyle G} の惰性部分群（英語版）と呼ばれている。 G 1 {\displaystyle G_{1}} は G {\displaystyle G} の野生分岐群（英語版）（または暴分岐群、wild inertia subgroup）、商 G 0 / G 1 {\displaystyle G_{0}/G_{1}} は馴商[訳語疑問点]（tame quotient）と呼ばれている。 ガロア群 G {\displaystyle G} とその部分群 G i {\displaystyle G_{i}} はこのフィルトレーションと商を使って調べることができる。次が成り立つ。 G / G 0 = Gal ( l / k ) {\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k)} が成り立つ。 l , k {\displaystyle l,k} は L , K {\displaystyle L,K} の剰余体（有限体である）。 G 0 = 1 ⇔ L / K {\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K} は不分岐拡大 G 1 = 1 ⇔ L / K {\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K} は従順分岐（英語版）（tamely ramified,馴分岐とも。分岐指数は剰余体の標数と互いに素であること） i ≥ 0 {\displaystyle i\geq 0} に対して G i = ( G 0 ) i {\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}} が成り立つので、分岐群の研究は完全分岐の場合に帰着される。 G {\displaystyle G} 上の関数 i G {\displaystyle i_{G}} を、 s ∈ G {\displaystyle s\in G} に対して i G ( s ) = w ( s ( α ) − α ) {\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha )} として定義する。先ほどの (ii) から i G {\displaystyle i_{G}} は α {\displaystyle \alpha } の取り方によらない。また、フィルトレーション G i {\displaystyle G_{i}} の研究は本質的に i G {\displaystyle i_{G}} の研究と同値である。 s , t ∈ G {\displaystyle s,t\in G} に対して、 i G {\displaystyle i_{G}} は次を満たす。 i G ( s ) ≥ i + 1 ⇔ s ∈ G i {\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}} i G ( t s t − 1 ) = i G ( s ) {\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s)} i G ( s t ) ≥ min { i G ( s ) , i G ( t ) } {\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}} π {\displaystyle \pi } を L {\displaystyle L} の素元とすると、 s ↦ s ( π ) / π {\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi } は単射 G i / G i + 1 → U L , i / U L , i + 1 , i ≥ 0 {\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0} を誘導する。ここで、 U L , 0 = O L × , U L , i = 1 + p i {\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}} である。この写像は素元の取り方によらない。これを使うと次がわかる 。 G 0 / G 1 {\displaystyle G_{0}/G_{1}} は位数が p {\displaystyle p} と互いに素な巡回群 G i / G i + 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i+1}} は位数が p {\displaystyle p} の巡回群の積 特に、 G 1 {\displaystyle G_{1}} は p 群で、 G 0 {\displaystyle G_{0}} は可解群である。 G / G 0 {\displaystyle G/G_{0}} は有限体のガロア群と同型であったので、特にアーベル拡大である。したがって（局所体の任意のガロア拡大のガロア群としてとっていた） G {\displaystyle G} は可解群である。 分岐群を使って、体拡大 L / K {\displaystyle L/K} やその部分拡大の共役差積（英語版） D L / K {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}} を計算することもできる。次が成り立つ w ( D L / K ) = ∑ s ≠ 1 i G ( s ) = ∑ i = 0 ∞ ( | G i | − 1 ) {\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1)} H {\displaystyle H} を G {\displaystyle G} の正規部分群とすると、 σ ∈ G {\displaystyle \sigma \in G} に対して i G / H ( σ ) = 1 e L / K ∑ s ↦ σ i G ( s ) {\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)} が成り立つ。 これと先ほどの式をあわせると、 H {\displaystyle H} に対応する部分拡大 F / K {\displaystyle F/K} に対して v F ( D F / K ) = 1 e L / F ∑ s ∉ H i G ( s ) {\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s)} が成り立つ。 s ∈ G i , t ∈ G j , i , j ≥ 1 {\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1} とすると、 s t s − 1 t − 1 ∈ G i + j + 1 {\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}} が成り立つ。ラザール（英語版）の言葉を使うならば、これはリー代数 gr ( G 1 ) = ∑ i ≥ 1 G i / G i + 1 {\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}} がアーベルであるということになる。
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