エルブランの定理
エルブランの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 03:25 UTC 版)
「分岐群 (数学)」の記事における「エルブランの定理」の解説
エルブランの定理は、下付き分岐群について G u H / H = ( G / H ) v {\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}} が成り立ち（ H {\displaystyle H} に対応する部分拡大を L / F {\displaystyle L/F} とし、 v = ϕ L / F ( u ) {\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)} とおいている）、上付き分岐群について G u H / H = ( G / H ) u {\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}} が成り立つという主張である。これから、局所体の絶対ガロア群をはじめとする無限次ガロア拡大に対して、有限次部分拡大についての分岐群の逆系を使って、上付き分岐群を定義することが可能になる。 アーベル拡大の上付き分岐群について、ハッセ・アルフの定理（英語版）という定理が知られている。これは、 G {\displaystyle G} がアーベルならフィルトレーション G v {\displaystyle G^{v}} の跳躍は整数、つまり ϕ ( i ) {\displaystyle \phi (i)} が整数でなかったら G i = G i + 1 {\displaystyle G_{i}=G_{i+1}} が成り立つという定理である。 上付き分岐群によるフィルトレーションは、単数群によるノルム剰余群（norm residue group）のフィルトレーションと、アルティン同型写像のもとで両立する。すなわち、同型写像 G ( L / K ) a b ↔ K ∗ / N L / K ( L ∗ ) {\displaystyle G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})} による G n ( L / K ) {\displaystyle G^{n}(L/K)} の像は、ちょうど U K n / ( U K n ∩ N L / K ( L ∗ ) ) {\displaystyle U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))} になる。
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