絶対ガロア群

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絶対ガロア群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/15 01:44 UTC 版)

実数体 R の絶対ガロア群は、複素数体 C が R の分離閉包で [C:R] = 2 なので、複素共役で生成される位数2の巡回群である。

体 K の絶対ガロア群 G_K（ぜったいガロアぐん、英: absolute Galois group）とは、K の分離閉包 K^sep の K 上のガロア群のことである。これは、K の代数的閉包の自己同型のうちで K を固定するもの全てから成る群と一致する。絶対ガロア群は副有限群であり、内部自己同型による違いを除いて well-defined である。

K が完全体であれば K^sep は K の代数的閉包 K^alg と等しい。K が標数0の場合や、K が有限体の場合がこれにあたる。

例

• 代数的閉体の絶対ガロア群は単位元のみからなる自明な群である。

• 実数体の絶対ガロア群は複素共役と恒等写像からなる位数2の巡回群である。これは、複素数体 C が 実数体 R の分離閉包であり、[C:R] = 2 であることから分かる。

• 有限体 K の絶対ガロア群は次の群

${\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} }$