絶対ガロア群とは? わかりやすく解説

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絶対ガロア群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/04/15 01:44 UTC 版)

実数R の絶対ガロア群は、複素数CR の分離閉包で [C:R] = 2 なので、複素共役で生成される位数2の巡回群である。

K絶対ガロア群 GK(ぜったいガロアぐん、: absolute Galois group)とは、K分離閉包 KsepK 上のガロア群のことである。これは、K代数的閉包の自己同型のうちで K を固定するもの全てから成る群と一致する。絶対ガロア群は副有限群であり、内部自己同型による違いを除いて well-defined である。

K完全体であれば KsepK代数的閉包 Kalg と等しい。K標数0の場合や、K有限体の場合がこれにあたる。

  • 代数的閉体の絶対ガロア群は単位元のみからなる自明な群である。
  • 実数体の絶対ガロア群は複素共役と恒等写像からなる位数2の巡回群である。これは、複素数C が 実数体 R の分離閉包であり、[C:R] = 2 であることから分かる。
  • 有限体 K の絶対ガロア群は次の群



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