ガロア群の生成元として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 01:24 UTC 版)
「フロベニウス自己準同型」の記事における「ガロア群の生成元として」の解説
有限体の拡大のガロア群は、有限次元拡大の場合、フロベニウス自己同型の繰り返しにより生成される[要検証 – ノート]。まず、基礎体が素体の場合を考える。q = pe として Fq を q 元体とする。Fq のフロベニウス写像 F は素体 Fp を固定するので、ガロア群 Gal(Fq/Fp) の元である。実際、このガロア群は位数 e の巡回群であり、F は生成元である。なぜならば、F e は、元 x を xq へ写すことにより作用し、これは Fq 上の恒等写像である。Fq のすべての自己同型は F のべきで、生成元は e に互いに素な i に対して、べき F i である。 ここで有限体 Fq f を Fq の体の拡大と考える。Fq f のフロベニウス自己同型 F は、基礎体 Fq を固定しないが、その e-番目の繰り返し F e を固定する。ガロア群 Gal(Fq f /Fq) は位数 f の巡回群で、F e により生成される。この群は Gal(Fq f /Fp) の部分群で、F e により生成される。Gal(Fq f /Fq) の生成元は、べき F ei である。ここの i は、f と互いに素である。 フロベニウス自己同型は、絶対ガロア群 Gal ( F q ¯ / F q ) {\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right)} の生成元ではない。何故ならば、このガロア群は、 Z ^ = lim ← n Z / n Z {\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}=\textstyle \varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} } であり、巡回群ではない。しかしながら、フロベニウス自己同型は Fq の全ての有限拡大のガロア群の生成元であるので、絶対ガロア群の全ての有限商の生成元である。結局、絶対ガロア群の上の普通のクルル位相でのトポロジカルな生成元である。
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