クルル位相とは? わかりやすく解説

クルル位相

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/07 09:58 UTC 版)

完備化 (環論)」の記事における「クルル位相」の解説

可換環論において、可換環 R の真のイデアル I のベキによるフィルターは、R 上のWolfgang Krull にちなんで)クルル位相(英語版)あるいは I-進位相(I-adic topology)を決定する極大イデアル I = m {\displaystyle I={\mathfrak {m}}} の場合が特に重要である。R の 0 の基本近傍系イデアルベキ In によって与えられる。これは入れ子になっており R の減少フィルターをなす。 R = I 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ ⋯ {\displaystyle R=I^{0}\supset I^{1}\supset I^{2}\supset \cdots } 完備化商環逆極限である。 R ^ I = lim ← ⁡ ( R / I n ) {\displaystyle {\hat {R}}_{I}=\varprojlim (R/I^{n})} (「アールアイハット」と読む。文脈から I が明らかなときには単に R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} と書くこともある。)環から完備化への自然な写像 π のは I のベキ共通部分である。したがって π が単射であることと共通部分環の零元のみからなることは同値である。たとえば、整域局所環である可換ネーター環クルル交叉定理よりその完備化埋め込める。 R-加群にも同様の位相があり、これもクルル位相や I-進位相呼ばれる加群 M の点 x における基本近傍系は x + In M の形をした集合によって与えられる。R-加群 M の完備化商加群逆極限である。 M ^ I = lim ← ⁡ ( M / I n M ) . {\displaystyle {\hat {M}}_{I}=\varprojlim (M/I^{n}{M}).} この手続きによって R 上の任意の加群は R ^ I {\displaystyle {\hat {R}}_{I}} 上の完備位相加群英語版)になる。

※この「クルル位相」の解説は、「完備化 (環論)」の解説の一部です。
「クルル位相」を含む「完備化 (環論)」の記事については、「完備化 (環論)」の概要を参照ください。

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