近傍系
基本近傍系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
点xの近傍Nはx ∈ O ⊂ Nを満たし、距離空間における開集合Oは B ε ( x ) ⊂ O {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)\subset O} を満たす。したがって以下のように基本近傍系の概念を定義すると、距離空間においては { B ε ( x ) ∣ ε > 0 } {\displaystyle \{B_{\varepsilon }(x)\mid \varepsilon >0\}} が基本近傍系になっている事がわかる。また一般の位相空間でも開近傍全体の集合が基本近傍系になる事がわかる。 定義 (基本近傍系) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、xをXの点とし、 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} をxの近傍系とする。 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} の部分集合 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} が以下を満たすとき、 B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} をxにおける基本近傍系という： 任意の近傍 N ∈ N x {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}} に対し、ある B ∈ B x {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{x}} が存在し、x ∈ B ⊂ N 近傍概念は収束などxの局所的な振る舞いを記述する際に用いられるので、多くの場合全ての近傍を考える代わりに、基本近傍系のみを考えれば十分である。例えば次が成立する： 命題 ― B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} を位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の点xにおける基本近傍系とする。このとき、 x ∈ XがAの内点 ⇔ ∃ N ∈ B x : N ⊂ A {\displaystyle \exists N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~N\subset A} x ∈ XがAの外点 ⇔ ∃ N ∈ B x : N ⊂ A c {\displaystyle \exists N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~N\subset A^{c}} x ∈ XがAの境界点 ⇔ ∀ N ∈ B x : A ∪ N ≠ ∅ {\displaystyle \forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~A\cup N\neq \emptyset } かつ A c ∪ N ≠ ∅ {\displaystyle A^{c}\cup N\neq \emptyset } x ∈ XがAの触点 ⇔ ∀ N ∈ B x : A ∩ N ≠ ∅ {\displaystyle \forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~A\cap N\neq \emptyset } x ∈ XがAの集積点 ⇔ ∀ N ∈ B x : {\displaystyle \forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~} Nはx以外にAの元を含む。 距離空間においては点xのε-近傍全体が基本近傍系をなすので、上記の定理より、距離空間においては内点、外点といった概念はε-近傍を用いて定義可能である。教科書によっては、このε-近傍を用いた定義を距離空間における内点、外点等の定義として採用しているものもある。
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