可測関数の空間 L0
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/11 09:20 UTC 版)
(S, Σ, μ) 上の可測関数の（同値類の）ベクトル空間は、L0(S, Σ, μ) と表記される。定義より、それは全ての Lp を含み、測度収束の位相を備える。μ が確率測度であるとき（すなわち、μ(S) = 1 であるとき）、この種の収束は確率収束と呼ばれる。μ が有限であるとき、その表現はより簡単になる。 μ が (S, Σ) 上の有限測度であるなら、0 函数は測度収束に対して次の基本近傍系を許す： V ε = { f : μ ( { x : | f ( x ) | > ε } ) < ε } , ε > 0. {\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\ \ \varepsilon >0.} その位相は d ( f , g ) = ∫ S φ ( | f ( x ) − g ( x ) | ) d μ ( x ) {\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)} の形状を取る任意の距離 d によって定義することが出来る。ただし φ は [0, ∞) 上で有界、連続、凹かつ非減少で、φ(0) = 0 および φ(t) > 0を t > 0 に対して満たす函数である（例として、φ(t) = min(t, 1) が挙げられる）。そのような距離は、L0 に対するレヴィ距離と呼ばれる。この距離の下で、空間 L0 は完備である（そしてそれは再び、F-空間である）。一般的には L0 は局所有界ではなく、局所凸でもない。 Rn 上の無限ルベーグ測度 λ に対して、基本近傍系の定義は次のように修正することも出来る。 W ε = { f : λ ( { x : | f ( x ) | > ε and | x | < 1 ε } ) < ε } {\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon \ {\text{and}}\ |x|<{\frac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}} 結果として得られる空間 L0(Rn, λ) は、任意の正の λ-可積分密度 g に対して、位相ベクトル空間として L0(Rn, g(x) dλ(x)) と一致する。
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