可測性の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「可測性の定義」の解説
前節でペンディングしていた s = ( s ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle s=(s(\lambda ))_{\lambda \in X}} の可測性の定義を述べる。 s = ( s ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle s=(s(\lambda ))_{\lambda \in X}} 可測性を定義するには、 ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} に技術的な付加構造を加える必要がある（よって直積分は ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} にこの付加構造を付け加えた場合のみ定義可能である）。まずその付加構造を定義する： 定義 ― 以下の3条件を満たす可算個の切断の組 ( e j ) j = 1 ∞ {\displaystyle (e_{j})_{j=1}^{\infty }} が存在するとき、 ( e j ) j = 1 ∞ {\displaystyle (e_{j})_{j=1}^{\infty }} を ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} の同時正規直交基底(simultaneous orthonormal basis)といいH13(p144-147)、 ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} と同時正規直交基底 ( e j ) j = 1 ∞ {\displaystyle (e_{j})_{j=1}^{\infty }} の組を可測構造(measurability structure)つきのヒルベルト空間族というH13(p144-147)： 任意のλ∈Xと任意の相異なるj, k ∈ Nに対し、 ⟨ e j ( λ ) , e k ( λ ) ⟩ λ = 0 {\displaystyle \langle e_{j}(\lambda ),e_{k}(\lambda )\rangle _{\lambda }=0} 任意のλ∈Xと任意のj ∈ Nに対し、 ⟨ e j ( λ ) , e j ( λ ) ⟩ λ {\displaystyle \langle e_{j}(\lambda ),e_{j}(\lambda )\rangle _{\lambda }} は0もしくは1である。 任意のλ∈Xに対し、 H λ = S p a n ( ( e j ( λ ) ) j = 1 ∞ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }=\mathrm {Span} ((e_{j}(\lambda ))_{j=1}^{\infty })} なお、写像 λ ∈ X ↦ d i m H λ ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \lambda \in X\mapsto \mathrm {dim} {\mathcal {H}}_{\lambda }\in [0,\infty ]} が可測であるときは、 ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} は必ず同時正規直交基底を持つことが知られている。 定義 (切断の可測性) ― ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} 上の可測構造を一つ固定したとき、以下の性質を満たす切断 s = ( s ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle s=(s(\lambda ))_{\lambda \in X}} は可測であるというH13(p144-147)： 任意のj∈Nに対し、 λ ∈ X ↦ ⟨ s ( λ ) , e j ( λ ) ⟩ λ {\displaystyle \lambda \in X\mapsto \langle s(\lambda ),e_{j}(\lambda )\rangle _{\lambda }} は可測。
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