位相の生成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
「開基 (位相空間論)」も参照 本節ではXのべき集合 P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)} の任意の部分集合 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} から作る方法を述べる。 定義・定理 (位相の生成、準開基) ― Xを集合とし、 S ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathfrak {P}}(X)} を任意の集合族とする。このとき、X上の位相 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} S ⊂ O {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {O}}} を満たすものの中で最も弱いもの O S {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}} が存在する。この O S {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}} を、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を含む最弱の位相（英: weakest topology）といい、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} は O S {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}} を生成する（英: generate）という。 また位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} において、 S ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathfrak {P}}(X)} が O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を生成するとき、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の準開基（じゅんかいき, 英: open subbase）という。 以上で我々は、準開基の抽象的な定義を与えたが、準開基の概念をより具体的な形で与えることもできる。そのための準備として、まず準開基の関連概念である開基について述べる。 定義 (開基) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、 B ⊂ O {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {O}}} とする。 以下が満たされるとき、 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} は O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開基（かいき, 英: open base、open basis）であるという。 任意の開集合(≠ ∅ {\displaystyle \emptyset } )は B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の元の(有限個または無限個の)和集合として書き表せる。すなわち ∀ O ∈ O ∃ T ⊂ B : O = ∪ B ∈ T B {\displaystyle \forall O\in {\mathcal {O}}\exists {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {B}}~:O=~\cup _{B\in {\mathcal {T}}}B} 開基の概念を用いると準開基を具体的に書き表す事ができ、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の準開基である必要十分条件は、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元の有限個の共通部分の全体の集合 B = { ⋂ i = 1 n S i | n ∈ N , S i ∈ S } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}S_{i}\,{\bigg |}\,n\in \mathbb {N} ,\,S_{i}\in {\mathcal {S}}\right\}} が、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開基をなすことである。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開集合は開基の和集合で書き表せるので、以上の事から O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開集合は準開基の有限積集合の（有限または無限）和集合として書き表せる。 開基の概念は、基本近傍系の概念と以下のような関係がある： 命題 (開基と基本近傍系の関係) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の各点xに対し、開集合からなる基本近傍系 N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} が定義されているとき、 ⋃ x ∈ X N x {\displaystyle \bigcup _{x\in X}{\mathcal {N}}_{x}} は O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開基である。また B {\displaystyle {\mathcal {B}}} を O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開基とすると、 N x = { B ∈ B ∣ x ∈ B } {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}\mid x\in B\}} はxの基本近傍系である。 Xが距離空間の場合はxのε-近傍 B ε ( x ) = { y ∈ X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}} がxの基本近傍系をなしていたので、 { B ε ( x ) ∣ x ∈ X , ε > 0 } {\displaystyle \{B_{\varepsilon }(x)\mid x\in X,\varepsilon >0\}} は開基をなす。 最後に、開基の概念で位相空間を特徴づける方法を述べる： 定理 (開基による位相の特徴づけ) ― Xを集合とする。このとき、 B ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)} が何らかの位相の開集合系の開基である必要十分条件は、以下の条件を満たすことである： ∀ B 1 , B 2 ∈ B , ∀ x ∈ B 1 ∩ B 2 ∃ B ∈ B : B ⊂ B 1 ∩ B 2 {\displaystyle \forall B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}},\forall x\in B_{1}\cap B_{2}\exists B\in {\mathcal {B}}~:~B\subset B_{1}\cap B_{2}}
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