位相と木構造

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位相と木構造

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/04/17 07:11 UTC 版)

「ベール空間 (集合論)」の記事における「位相と木構造」の解説

ベール空間の定義に用いる積位相は、木を用いてより具体的に記述することができる。この積位相の定義を基本開集合系を用いて特徴付けると： 自然数に値をとる有限な長さの座標系 {ci : i < n } を固定し、各 ci が特定の自然数値 vi をとるものとすると、各 i < n において ci-成分の値が vi であるような無限自然数列全体の成す集合は基本開集合であり、任意の開集合はこのような基本開集合たちの和集合に表される。 自然数列 {wi : i < n} を一つ決めるごとに、各 i < n において第 i-項の値が wi となるような無限列全体の成す集合は基本開集合であり、任意の開集合はこのような基本開集合たちの和に表される。 即ち、ベール空間の基本開集合は無限自然数列の有限始片 τ から決まり、かつ無限列全体の成す集合は基本開集合を成す τ を延長して得られる。これにより、一方が他方の延長になっているという関係で順序づけられた有限自然数列全体の成す木構造 ω<ω を奔る経路 (path) 全体の成す集合としての、ベール空間の表現が得られる。このとき、開集合はこの木構造の（有限個とは限らない）結点 (node) の和から決定される。つまり、ベール空間の点がこの開集合に属するための必要十分条件が、その点を表す経路が与えられた結点のうちの少なくとも一つを通ることと述べられる。 この木を奔る経路の集合としてのベール空間の表現からは、閉集合の特徴付けも得られる。ベール空間の任意の閉集合 C に対して、ω<ω の部分木 T で勝手な点 x が C に属することと、点 x を表す経路が T を通ることとが同値になるようなものが存在する。逆に、ω<ω の任意の部分木に対して、それを通る経路全体の成す集合はベール空間の閉集合である。