位相と滑らかな構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/17 05:35 UTC 版)
接束には自然な位相（非交和位相ではない）が入り、それ自身多様体になる。TM の次元は M の次元の 2 倍である。 n 次元多様体の各接空間は n 次元ベクトル空間である。U が M の開可縮部分集合であれば、TU から U × Rn への微分同相であって各接空間 TxU から {x} × Rn への線型同型に制限するものが存在する。しかしながら、多様体として、TM は積多様体 M × Rn に微分同相なわけではない。それが M × Rn の形であるときには、接束は自明である (trivial) という。自明な接束は通常 'compatible な群構造' を伴った多様体に対して起こる。例えば、多様体がリー群のケース。単位円の接束は自明である、なぜならばそれは（積と自然な微分構造のもとで）リー群であるからだ。しかしながら自明な接束をもったすべての空間がリー群というのは正しくない。自明な接束をもった多様体を平行化可能（英語版）と呼ぶ。多様体が局所的にユークリッド空間でモデルされるのとちょうど同じように、接束は U × Rn 上で局所的にモデルされる、ただし U はユークリッド空間の開部分集合である。 M が滑らかな n 次元多様体であれば、それはチャート (Uα, φα) のアトラスをもつ、ただし Uα は M の開集合で ϕ α : U α → R n {\displaystyle \phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbf {R} ^{n}} は微分同相である。U 上のこれらの局所座標は TxM と Rn の間の同型を各 x ∈ U に対して生じる。そうすると写像 ϕ ~ α : π − 1 ( U α ) → R 2 n {\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbf {R} ^{2n}} を ϕ ~ α ( x , v i ∂ i ) := ( ϕ α ( x ) , v 1 , ⋯ , v n ) {\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }(x,v^{i}\partial _{i}):=(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n})} によって定義できる。これらの写像を TM の位相と滑らかな構造を定義するのに使う。TM の部分集合 A が開であることと ϕ ~ α ( A ∩ π − 1 ( U α ) ) {\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }(A\cap \pi ^{-1}(U_{\alpha }))} が R2n において各 α に対して開であることは同値である。するとこれらの写像は TM の開部分集合と R2n の間の同相写像でありしたがって TM の滑らかな構造のチャートとして仕える。 π − 1 ( U α ∩ U β ) {\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })} で重なるチャート上の変換関数は伴う座標変換からヤコビ行列から誘導され、したがって R2n の開部分集合の間の滑らかな写像である。 接束はベクトル束（これはそれ自身ファイバー束の特別な種類である）と呼ばれるより一般的な構造の例である。明示的に書くと、n 次元多様体 M への接束は、変換関数が伴う座標変換のヤコビアンによって与えられる、M 上のランク n のベクトル束として定義できる。
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