線型同型とは？わかりやすく解説

数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、英: linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー倍を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。

概要

抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。

「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素」（せんけいさようそ、英: linear operator）と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」（いちじけいしき、英: linear form, one-form; 線型形式; 1-形式）とも呼ばれる^{[注釈 1]}。

線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照

定義

$V$ と $W$ とを同じ体 $𝔽$ の上のベクトル空間とする。 $V$ から $W$ への写像 $f$ が、任意のベクトル $x, y \in V$ と任意のスカラー $c \in 𝔽$ に対し、

加法性: $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ,
斉一次性: $f (c x) = cf (x)$

をともに満たすとき^{[注釈 2]}、 $f$ を $𝔽$ 上の線型写像 または簡単に $𝔽$ -線型写像という。考えているベクトル空間および線型写像がどの体上のものであるかが明らかなときには、省略して単に「 $f$ は $V$ から $W$ への線型写像である」などということもある^{[注釈 3]}。

上記の二性質を合わせて線型性と呼び、また有限個のスカラー $λ i$ とベクトル $v i$ に対して

線型性:

f{\Big (}\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}v_{i}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}f(v_{i})

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2016年2月）

齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年。ISBN 978-4130620017。
佐武一郎『線型代数学』裳華房〈数学選書1〉、1974年。ISBN 978-4785313012。
Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3
Lang, Serge (1987), Linear algebra, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6