抽象的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:35 UTC 版)
ベクトル空間 V, W と W∗ は W の双対空間とする。ベクトル x ∈ V および y∗ ∈ W∗ に対してテンソル積 y∗ ⊗ x は w ↦ y ∗ ( w ) x {\displaystyle w\mapsto y^{*}(w)x} で与えられる写像 A: W → V に対応する。ここで y∗(w) は線型汎函数 y∗（これは W の双対空間の元）をベクトル w ∈ W において評価した値である。これはスカラーであり、これを最終的に V の元である x に掛けたものがテンソル積の値である。 ベクトル空間 V, W が有限次元ならば、W から V への線型変換全体の成す空間 Hom(W, V) は外積で生成される。実は行列の階数は、外積を和として表すために必要な項の最小数（行列のテンソル階数）に一致する。今の場合、Hom(W, V) は W∗ ⊗ V に線型同型である。 双対性内積との対比 W = V のとき、余ベクトル w∗ ∈ V∗ とベクトル v ∈ V とを写像 (w∗, v) ↦ w∗(v) を通して対にすることができる。これは V とその双対空間との間に定まる双対性を表す内積である。
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抽象的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:18 UTC 版)
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。E の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型 ⋀ n ϕ : e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ↦ ϕ ( e 1 ) ∧ ⋯ ∧ ϕ ( e n ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{n}}\phi \colon e_{1}\wedge \dotsb \wedge e_{n}\mapsto \phi (e_{1})\wedge \dotsb \wedge \phi (e_{n})} は一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。
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